偶數維流形上的一種新幾何
你來到這一級時，已經能流利地說兩種語言。從黎曼這條線，你知道一個度量 g 如何替每個切空間配上一個內積——一個對稱的雙線性形式——由此流出長度、角度、測地線與曲率。從形式這條線，你認識微分形式、它由交錯代數所構築，也明白一個形式封閉是什麼意思。辛幾何，正是當你保留第二種語言、卻刻意拋棄對稱性時所發生的事。你不再在每個切空間放對稱形式，而是放一個反對稱的形式；你得到的也不是逐點的剛性，而是某種更奇異的東西。
具體地說，流形 M 上的一個辛形式 omega 是一個滿足兩條件的微分 2-形式。第一，它是封閉的：d omega = 0，正是你在閉形式與恰當形式中學過的意思。第二，它是非退化的：在每一點 p，T_p M 上的反對稱形式 omega_p 的根基為平凡——若對每一個 w 都有 omega_p(v, w) = 0，則必有 v = 0。一個流形 M 連同這樣一個 omega，便是一個辛流形，記作 (M, omega)。非退化是度量正定的對應物，只不過是反對稱而非對稱。
原型：辛向量空間
所有的幾何，逐點地看，都活在一幅線性代數的圖像裡，因此先把它釘牢很值得。取座標為 (q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n) 的 R^(2n)——把它想成「位置 q 與動量 p」——並定義標準形式 omega_0 = sum over i of dp_i ^ dq_i。在基底向量上，它把每個 q-方向與其對應的 p-方向以 ±1 配對，其餘一切則配為 0。這就是線性模型：一個帶非退化反對稱形式的實向量空間，就是一個辛向量空間，而 omega_0 便是它的標準形貌。
關鍵的線性事實——線性達布引理——是說：這是唯一的形貌。有限維實空間上任何非退化的反對稱形式，都容許一組基底（一組辛基底 e_1, ..., e_n, f_1, ..., f_n），使它長得與 omega_0 一模一樣：omega(e_i, f_j) = delta_ij，其餘配對皆為零。其證明是反對稱版的格拉姆-施密特——任取一個 e_1，找一個夥伴 f_1 使 omega(e_1, f_1) = 1，把它們張成的平面剝離，再在 omega-正交補上遞迴。這裡沒有可連續調的旋鈕、沒有曲率、沒有「omega 的特徵值」可量：任兩個維數同為 2n 的辛向量空間都彼此同構。
這已是那條頭條的縮影。拿它與度量對比：同一個空間上的兩個內積，一旦記住標準度量後，可以真正地不同（它們相對的「特徵值」是不變量——那正是曲率的種子）。反對稱形式卻沒有這類不變量。辛幾何將整批地承襲這份「軟」：局部上根本沒有東西可量。這門學問若有任何內容，都必然是全域的。
典範範例：餘切叢
辛流形從何而來？最豐沛的源頭——透過古典力學推動了整個領域的那一個——是任意光滑流形 M 的餘切叢 T*M。T*M 的點是配對 (q, p)，其中 q 是 M 的一點，p 是 q 處的一個餘向量（動量）。在 T*M 上住著一個典範的 1-形式，重言或劉維爾 1-形式 theta，它的定義完全不需任何選擇，而典範辛形式為 omega = −d theta。由於它是恰當的，便自動封閉；再驗證它非退化即可。於是每個位形空間 M 都自動生成一個相空間 (T*M, −d theta)。
Local picture on T*M, coords (q_1..q_n, p_1..p_n): tautological 1-form theta = sum_i p_i dq_i symplectic form omega = -d theta = sum_i dq_i ^ dp_i Darboux normal form (any symplectic 2n-manifold, locally): omega = dq_1 ^ dp_1 + dq_2 ^ dp_2 + ... + dq_n ^ dp_n
也存在非餘切叢的辛流形，而且它們很要緊。2-球面 S^2 帶有它的面積形式，那是封閉的（曲面上的最高階）且非退化，使 (S^2, 面積) 成為辛的——然而 S^2 並非餘切叢。更一般地，每個凱勒流形、每個複射影簇，都透過其凱勒形式而為辛的。於是這門學問橫跨兩個世界：軟的力學那一側（餘切叢），與剛的複代數那一側——後者由相鄰的凱勒這條線去探索。兩者在局部都服從同一條達布定理。
達布定理：沒有局部不變量
現在來看頭條，連同其假設誠實地陳述。達布定理：若 (M, omega) 是維數為 2n 的辛流形，則在每一點 p 周圍都存在座標 (q_1, ..., q_n, p_1, ..., p_n)——達布座標——使 omega = sum of dq_i ^ dp_i，恰是平坦模型 omega_0。不是近似、不是到一階：是分毫不差地、在整個鄰域上成立。每個辛流形在局部上都無法與帶標準形式的 R^(2n) 區分。
讓與黎曼幾何的對比真正落地，因為這正是重點所在。度量沒有達布定理：一般而言，你無法在一點附近把 g 弄平成歐氏形式——其障礙恰恰是曲率張量，而它不是靠選座標就能讓它消失的。度量有一個局部不變量（曲率），因而有豐富的局部理論。辛形式則一個也沒有。兩個同維數的辛流形，透過任何夠小的窗口看去都完全相同。凡能區別它們的，都是全域的、拓撲的、大尺度的——絕不是局部的。
證明何以成立：莫澤技巧
值得看看達布為何成立，因為其機制——莫澤技巧——在辛幾何中無處不在（它支撐了第三篇的魏因斯坦鄰域定理）。其想法是內插。在 p 附近，寫下線性模型 omega_0 = sum dq_i ^ dp_i（憑線性達布引理可在切空間上達成）與你給定的 omega_1 = omega。用直線路徑 omega_t = (1−t) omega_0 + t omega_1 把它們連起來，這路徑對所有 t 都封閉，且在夠小的鄰域上保持非退化。
- 安排 omega_0 與 omega_1 在 p 點處一致（在 T_p M 上用線性達布），使它們的差在 p 處為零。
- 把差寫成 omega_1 − omega_0 = d sigma，其中 1-形式 sigma 在 p 處為零——這是可行的，因為該差封閉、且我們在局部（龐加萊引理）。
- 對每個 t，解方程 omega_t(X_t, -) = −sigma，求出一個含時向量場 X_t。omega_t 的非退化性正是讓此式可解的關鍵——它讓你能把形式求逆。
- 沿 X_t 從時間 0 流到 1。卡當魔法公式給出拉回 (phi_t)*omega_t 對 t 的導數為 0，故流 phi_1 把 omega_1 拉回成 omega_0——那便是你的達布座標。
唯一承重的想法是：非退化性讓你能把一個形式轉換成一個向量場，然後流動。一個上同調類不變的封閉形式，可以被一個微分同胚「捋直」。把這個樣式牢牢記住；它是整門學問的引擎。執行這道捋直的映射——把一個辛形式拉回成另一個的微分同胚——便是辛同胚，這是辛意義下的等價概念；而達布定理說，局部上人人都辛同胚於那個標準模型。
本級其餘部分在此之上構築什麼
握著 (M, omega) 與達布座標，omega 的非退化性便成為一部字典。它在向量場與 1-形式之間建立起一個完美的配對：給定函數 H，方程 omega(X_H, -) = dH 定義出唯一的哈密頓向量場 X_H。這一步——把能量 H 化為一道流——就是古典力學，也正是第二篇連同卜瓦松括號與劉維爾體積守恆定理的全部主題。一切都始於 omega 可逆，而那不過是非退化性換上了工作服。
非退化性也讓子空間的「大小」變得有意義。omega 在其上限制為零的子空間稱為迷向的；其中極大者，在 2n 中維數恰為 n，便是拉格朗日的。拉格朗日子流形——半維、omega 在其上消失——結果成了整個領域的核心對象（閉 1-形式的圖、T*M 的零截面、不動點集），它連同魏因斯坦定理（後者又是莫澤技巧的另一項收成）擔綱第三篇。第四篇引入對稱：當一個群以保持 omega 的方式作用時，動量映射記錄守恆量，而辛約化縮小相空間。
帶著往前走的一則誠實提醒，以及一句關於範圍的話。提醒：本篇陳述了達布定理並勾勒其機制，但一個嚴謹的證明——不變地定義劉維爾形式、驗證 omega_t 的非退化、論證流的存在——是研究所教科書中的數頁，而非一段；請把這段勾勒當作那個想法，而非驗證本身。範圍：符號、乃至 omega = +d theta 對 −d theta 這個定義本身，各作者皆有不同，所以翻開一本書時，先在第一頁讀清它的慣例並忠於它——本主題早期的困惑多半是一個放錯的符號，而非一個誤解的概念。