黏合仿射概形：概形究竟是什麼
第二篇取一個交換環 R 造出一個單一的幾何物件：譜 Spec R，一個由素理想構成、帶著結構層 O 的拓樸空間，整套東西便是一個仿射概形。那是原子。但流形不是單一座標卡，簇也不是單一仿射片——射影空間、橢圓曲線、帶雙重原點的直線，這些全是由仿射片拼縫而成的。一個概形正是那縫合的結果：一個拓樸空間 X 配一個環層 O_X，使得每個點都有一個開鄰域，連同限制上去的層，同構於某個仿射概形 Spec R。
這定義幾乎逐字呼應卷一的流形定義。在那裡，光滑流形是一個藉座標卡局部以 R^n 為模型的空間；在這裡，概形是一個藉仿射開集局部以 Spec R 為模型的空間。關鍵的升級在於：局部模型攜帶的不只是到 R 的函數，而是一整個環層——且這些環不必約化、不必在某個體之上、可帶冪零元、可有多個分支。正是這份額外的記帳，讓概形能看見簇看不見的東西：肥點 Spec(k[x]/(x^2)) 是單獨一個點，其環卻記得一個「一階方向」，一個被黏進幾何本身的切向量。
態射：局部環化空間的映射
一個範疇若無箭頭便毫無用處，而這裡的箭頭比連續映射更微妙。正確的場景是第一篇的局部環化空間：一個帶環層、且每個莖都是局部環的空間。概形的一個態射 f: X -> Y 是一個連續映射 f 連同結構層的一個比較 f#: O_Y -> f_* O_X——一種把函數拉回的方法——並受一個本質條件約束：莖上的誘導映射 O_{Y, f(p)} -> O_{X, p} 必須是局部同態，把極大理想送進極大理想。最後這一款不是裝飾；它正是全部重點。
為何要堅持局部性？因為一個莖的極大理想恰是「在該點消沒的函數」，所以局部同態正是幾何要求「在 f(p) 消沒的函數拉回成在 p 消沒的函數」的代數投影。去掉這個條件，你就放進了在幾何上毫無意義的映射。以下是回報定理，使整套機器可用的橋樑：對仿射概形而言，態射 Spec A -> Spec B 「恰好」反變地對應於環同態 B -> A。Hom(Spec A, Spec B) = Hom(B, A)，箭頭反轉。仿射概形的幾何就是環的代數，倒過來讀。
相對幾何：在基底 S 上工作
概形幾乎從不被孤立地研究；它們是在一個基底「之上」被研究的。一個 S-概形不過是一個態射 X -> S，而 S-概形的態射是一個在 S 之上交換的三角形。當 S = Spec k 時這便回收「體 k 上的簇」，但相對的觀點威力遠大於此：取 S = Spec Z，則單一的概形 X -> Spec Z 就是一族幾何，每個素數之上一個，這正是算術幾何的引擎。基底記錄了你被允許站立的地面，而格羅滕迪克的革命，便是堅持幾乎每一個值得擁有的性質都是「態射」X -> S 的性質，而非單獨 X 的性質。
基本的相對運算是纖維積 X x_S Y，這個概形論意義下的拉回同時推廣了交、原像與基底變換。在仿射片上它極其簡單——它是張量積的 Spec：Spec A x_{Spec R} Spec B = Spec(A tensor_R B)——而一般的纖維積便由這些仿射片黏成。兩種用途居主導。其一，f: X -> S 在一點 s 之上的纖維是 X x_S Spec(k(s))，字面上就是 X 坐落在 s 上方的那部分。其二，基底變換：給定 X -> S 與一個新基底 S' -> S，拉回 X x_S S' 把 X 搬去活在 S' 之上，正如你藉沿 Spec(F_p) -> Spec Z 作基底變換來把一個 Z-概形模 p 約化。
AFFINE FIBER PRODUCT (the one formula behind everything)
Spec A x Spec B = Spec ( A (x) B )
Spec R R
Example -- fiber of y^2 = x^3 - x over a prime p :
X = Spec Z[x,y] / (y^2 - x^3 + x) -> Spec Z
fiber over (p) : X x Spec F_p = Spec F_p[x,y]/(y^2 - x^3 + x)
Spec Z
a smooth elliptic curve for most p ; SINGULAR at the few bad primes
p = 2 and p | disc -- the family degenerates exactly there.點的函子：概形即其所測
以下這個想法終於馴服了抽象，值得放慢腳步。一個概形在拓樸意義下有「點」——素理想——但那是個古怪而臃腫的集合：Spec Z 對每個素數有一個點「外加」一個泛點，而多項式環的 Spec 的點竟是整個整子簇。修補之道是：別再問「X 的點是什麼」，改問「什麼映「進」X」。對任一環 R，定義 X(R) = Hom(Spec R, X)，即 R-值點的集合。這條把每個 R 送到集合 X(R) 的規則，便是 X 的點函子。
這為何是一個啟示而非只是重新包裝？因為 X(R) 就是 R 上的解集，在最字面的意義上。若 X = Spec(Z[x, y]/(x^2 + y^2 - 1)) 是圓，則對任一環 R，集合 X(R) 恰是那些滿足 a^2 + b^2 = 1 的對 (a, b) in R x R——圓的 R-點，數論學家真正想要的東西。那個看似深不可測的素理想空間，透過它的函子來看，不過是一個指派「這就是你在每個環上的解，一次給足」，並隨你變動 R 而函子地變化。幾何「就是」那一族解集。
為這整個動作背書的定理是米田引理：一個概形 X 由它的函子 R -> X(R)（更精確地說，由全體概形範疇上的函子）決定，直到唯一同構。所以從 X 過渡到它的點函子時毫無資訊遺失——你可以藉指明它表示哪些解集來定義一個概形，再驗證該函子可表示。模空間問題正是這樣提出的：「把 R 送到 {R 上橢圓曲線之族} 的函子」是個你在尚不知是否有概形表示它之前就能寫下的東西；證明它可表示，便是證明那個模空間存在。
分離與緊合：概形論版的豪斯多夫與緊緻
概形的扎里斯基拓樸太粗，當不了豪斯多夫——相異的點鮮少被不交的開集分離，而拓樸緊緻幾乎無用，因為每個概形的空間都基於平凡理由而擬緊。所以「豪斯多夫」與「緊緻」這兩個好觀念必須相對於基底重新發明，作為態射的性質，而這正是相對觀點何以值得的最乾淨示範之一。替代品是分離與緊合態射，這個收尾本篇、並為第五篇的上同調鋪路的主題。
分離性是豪斯多夫的類比。回想一個拓樸空間為豪斯多夫，恰當其對角線 X -> X x X 為閉。逐字照抄：一個態射 X -> S 為分離，當對角態射 X -> X x_S X 是一個「閉浸入」。這恰是扼殺諸如帶雙重原點的直線那類病態的條件——兩份仿射直線除原點外處處黏合。那物件是個完好的概形，但它的對角線不閉：兩個原點無法被閉條件分辨開，這正是一個序列有兩個極限的非豪斯多夫空間的代數迴響。分離性恰恰禁止這一點。
緊合性是緊緻的類比——更精確地說是「相對於基底的緊緻」，正如一個連續映射在緊集的原像為緊時稱為緊合。一個態射為緊合，當它分離、有限型、且「泛閉」（為閉，且在任何基底變換後仍為閉）。要帶走的口號是：緊合概形是那些其上積分與上同調行為良好者，其上整體截面為有限維、第五篇的塞爾對偶成立。射影概形——P^n_S 的閉子概形——永遠緊合，這正是射影簇身為主力的原因；而 n > 0 的仿射空間 A^n 恰恰相反，「不」緊合，因為投影 A^1 -> Spec k 不閉（雙曲線 xy = 1 的像漏掉了原點）。
- 造出局部模型：一個環 R 給出仿射概形 (Spec R, O)，第二篇的原子——一個帶結構層的素理想空間。
- 把原子黏成概形：一個帶 O_X、局部為 Spec R 的空間 X；射影直線 P^1（兩條仿射直線藉 y = 1/x 黏合）是第一個非仿射的例子。
- 添上箭頭：態射是局部環化空間的映射；在仿射上 Hom(Spec A, Spec B) = Hom(B, A)，反轉——仿射的幾何「就是」倒著讀的環論。
- 轉為相對：在基底 S 上工作；纖維積 X x_S Y（仿射上是張量積的 Spec）一舉交付纖維與基底變換。
- 切換到解：藉函子 R -> X(R) = Hom(Spec R, X) 來讀 X；依米田這不損失任何東西，並把模問題化為可表示性的問題。
- 施加良好行為：分離（對角線閉 = 豪斯多夫類比）與緊合（泛閉 = 緊緻類比），正是第五篇的上同調與塞爾對偶將要求的假設。