從亞純函數到曲面之間的映射
第一篇教你把緊黎曼曲面 X 上的亞純函數 f 不當作函數，而當作一個到黎曼球面的全純映射 f: X -> P^1，其中極點不過是映到無窮遠點的那個地方。本篇把這件事再推進一步，研究兩個緊黎曼曲面之間任何非常數的全純映射 f: X -> Y。球面的情形（Y = P^1）是招牌範例，但整個故事並不需要 Y 是球面。我們通篇倚賴的第一個奇蹟是：這樣的映射幾乎是一個覆疊映射——在 Y 的大部分地方，它看起來就像把 d 份互不相交的圓盤疊在一起。
為何只是「幾乎」？因為非常數全純映射有一個剛硬的局部形式。在 X 中任一點 p 附近，取一個以 p 為心的座標卡 z（於是 p 即 z = 0），並在 Y 上取一個以 f(p) 為心的座標卡 w。那麼 f 在這些座標下，經過一次解析的座標變換後，必定長得像 w = z^e，其中 e >= 1 是唯一確定的整數。那個整數 e 是 f 在 p 處的局部次數或分歧指數，記作 e_p。當 e_p = 1 時，映射是局部雙全純的——它在 p 附近可逆，行為如同恆等映射。當 e_p >= 2 時，真正不同的事發生了：當你繞 p 一圈時，映射纏繞了 e_p 圈，就像 z^2 把每個角度都加倍那樣。
現在把詞彙釘牢，因為接下來兩節的成敗全繫於此。在正規形式 w = z^(e_p) 中，e_p = 1 的情形是一片乾淨的無分支葉片——一個局部雙全純映射。e_p >= 2 的情形是一個分歧點，那裡有 e_p 片葉子捏合成一片；它在 Y 中的像 f(p)，也就是你從底下能看見那個捏合之處，便是對應的分支點。要把兩者放在不同的樓層：分歧點住在上層的 X 中，分支點住在下層的 Y 中。
次數是常數——清點纖維
這裡是讓一切變得可量化的那個唯一事實。對緊黎曼曲面之間的非常數全純映射 f: X -> Y，Y 中一點 q 的原像數目——按正確的重數計算——對每一個 q 都相同。那個共同的值就是映射的次數 d。誠實的計數規則是這樣的：在 q 之上，把纖維 f^(-1)(q) 中所有 p 的分歧指數 e_p 加起來。對幾乎每一個 q，每個 e_p = 1，纖維就單純有 d 個相異的點；在某個特殊的分支點之上，有些葉片已經被捏合，指數超過 1，但這個加權的和仍然加回到 d。
有兩個重要的細化讓你保持誠實。第一，分歧點很稀少：由於 z^e 的導數除了在 z = 0 之外都不為零，e_p >= 2 的點恰恰是 f 的導數消失之處，而在緊曲面上一個非零的全純對象只有有限多個零點。所以在上層的 X 中只有有限多個分歧點，因而在下層的 Y 中也只有有限多個分支點。在這些分支點之外，f 確確實實是一個次數為 d 的覆疊映射——d 片互不相交的葉片疊成一摞，正是拓樸學家的覆疊空間，完全沒有任何捏合。第二，別把這兩個詞弄混：「分歧點」住在 X 中（葉片在那裡捏合），它的像「分支點」住在 Y 中（你從底下看見那個捏合）。
歐拉示性數：三角剖分與拉回
黎曼-赫爾維茨公式其實是一個關於歐拉示性數的陳述，所以先回想那個掌控緊可定向曲面拓樸的單一數字。由你在前一級遇到的分類，這樣的曲面在同胚意義下由它的虧格 g——把手的個數——所決定，而它的歐拉示性數是 chi = 2 - 2g。球面有 g = 0、chi = 2；環面有 g = 1、chi = 0；虧格 2 的曲面有 chi = -2。從任何三角剖分用 V - E + F（頂點減邊加面）算出 chi；其奧妙在於：無論你畫哪一種三角剖分，這個交錯的計數都不變。
現在把整個證明的策略一口氣說完。把底空間 Y 三角剖分得夠巧妙，使得每一個分支點都是某個頂點。然後把這個三角剖分經由 f 拉回到 X 上的一個三角剖分。把分支點放在頂點的用意是：f 在分支點之外是一個如假包換、次數為 d 的覆疊——所以 Y 的每條邊恰好提升為 X 的 d 條邊，每個面恰好提升為 d 個面。邊與面都乾淨地乘以 d。簡單的乘法「唯一」會出問題的地方，是坐落在分支點上方的那些頂點，葉片在那裡已經合併：在那裡，單一一個 Y 的頂點上方躺著的點少於 d 個。黎曼-赫爾維茨公式所有的微妙之處，都藏在那個頂點虧損裡。
組裝黎曼-赫爾維茨公式
- 把 Y 三角剖分成 V 個頂點、E 條邊、F 個面，並安排得使所有分支點都是頂點；於是 chi(Y) = V - E + F = 2 - 2*g_Y。
- 經由次數為 d 的映射提升。在分支點之外 f 是覆疊，所以邊與面恰好倍增：X 得到 d*E 條邊與 d*F 個面。
- 誠實地清點提升後的頂點。Y 的一個一般頂點 q 有 d 個原像，但在分支點之上，纖維只有「纖維上 1 的和」= d - （(e_p - 1) 之和）個點，因為 e_p 片葉子融成了一片。所以上層頂點的總數是 d*V 減去分歧虧損 R = X 中所有 p 上 (e_p - 1) 之和。
- 組成 chi(X) = (d*V - R) - d*E + d*F = d*(V - E + F) - R = d*chi(Y) - R，再用虧格改寫：2 - 2*g_X = d*(2 - 2*g_Y) - R。
RIEMANN-HURWITZ (compact Riemann surfaces, nonconstant f: X -> Y of degree d) chi(X) = d * chi(Y) - R, R = sum over p in X of ( e_p - 1 ) in genus form: 2 - 2 g_X = d * ( 2 - 2 g_Y ) - R ramification term R is a sum of NONNEGATIVE integers, finite support ( e_p = 1 contributes 0 ; the sum runs over the few ramification points )
把這條公式讀成帶有一個修正項的守恆律。若沒有分歧（R = 0），歐拉示性數就單純地乘以次數，恰如對一個如假包換的無分支覆疊那樣——環面的一個乾淨 d 葉覆疊仍是環面，因為 d * 0 = 0。每一單位的分歧，即每個 e_p - 1，都從 chi(X) 中「減去」，這意味著它「增加」了虧格 g_X。分歧使上層曲面更複雜，從不更簡單。而這裡藏著一個美妙的剛性：因為 g_X >= 0，公式約束了給定次數、給定底空間的覆疊能承載多少分歧——你不能任意地把葉片捏在一起。
範例演算：球面、環面與超橢圓曲線
從最小的例子領頭。取 f(z) = z^2 作為映射 P^1 -> P^1；這裡 Y 是球面，g_Y = 0，次數是 d = 2。導數 2z 只在 z = 0 處消失，而仔細看無窮遠處（在座標 u = 1/z 下，映射是 u -> u^2）會發現它在那裡也分歧。所以恰有兩個分歧點 0 與無窮遠，各有 e_p = 2，給出 R = (2-1) + (2-1) = 2。代入：2 - 2*g_X = 2*(2 - 0) - 2 = 2，故 g_X = 0。總空間又是一個球面——正確，因為 z^2 不過是把球面對折在自身上，在兩極處分歧，就像把一個氣球繞著一個較小的氣球纏兩圈那樣。
現在來看開啟下一篇的那個例子。一條超橢圓曲線是球面的一個雙重覆疊，由 y^2 = h(x) 定義，其中 h 是一個有相異根的多項式；映射 (x,y) -> x 是到 P^1 的次數 d = 2。在 h 的每個根上，兩個 y 值 y = +/- sqrt(h(x)) 碰撞成一個，所以每個根都是一個分支點，帶一個指數為 2 的分歧點。若 h 的次數為 2k，就有 2k 個這樣的分支點，此外我們還須檢查無窮遠。一個簡短的計算顯示，無窮遠恰在 deg h 為奇數時分歧；安排 deg h = 2k 為偶數可使無窮遠不分歧，於是 R = 2k。黎曼-赫爾維茨公式給出 2 - 2*g_X = 2*(2) - 2k，故 g_X = k - 1。
最後一個健全性檢查，把公式繫上一個你應當時時利用的約束：當底空間是球面、且我們要 g_X >= 0 算出整數時，分歧計數 R = sum (e_p - 1) 永遠是個「偶」數。更有用的是，黎曼-赫爾維茨公式禁絕不可能之事。譬如，不存在從球面到環面的非常數全純映射：當 g_X = 0、g_Y = 1 時，公式讀作 -2 = d*0 - R = -R，逼出 R = -2，這不可能，因為 R >= 0。所以較低的虧格無法非常數地映滿較高的虧格——公式自動編入了這個剛性。這正是同一個原理，配上代數曲線的工具再往前推，便開始分類哪些曲面能覆疊哪些曲面，也是通往下一篇除子與黎曼-羅赫機制的橋樑。