子流形：第二基本形式、高斯-科達齊方程與空間形式

佈局：沿子流形分裂外圍聯絡

我們終於繞回原點。第一冊研究坐落在 R^3 中的曲面，連同它們的第一與第二基本形式；前四篇則完全從內部、不藉任何外圍空間，造出了內蘊的機器——度量、列維-奇維塔聯絡、測地線、黎曼曲率張量。本篇把兩種觀點重新接上。舞台是一個黎曼流形 (M-bar, g-bar)——把「bar」讀成外圍或周遭空間——連同一個嵌入其中的嵌入子流形 M，而 M 的度量 g 不過是把 g-bar 限制到與 M 相切的向量上而繼承得來。問題正是高斯為曲面所問的那一個：M 的幾何有多少是內蘊的，又有多少記錄了 M 在 M-bar 之中彎曲的方式？

這裡是一切所賴的那一個想法。在 M 的每一點 p，外圍切空間 T_p(M-bar) 正交地分裂成切空間 T_p M 與法空間（正交補）N_p M——每個外圍向量都是一個切向部分加一個法向部分。現在取兩個與 M 相切的向量場 X、Y，作出外圍協變導數 nabla-bar_X Y。沒有任何理由它應當保持與 M 相切，而一般它也確實不會。把它分解：經由對兩條定義公理的簡短檢驗，它的切向分量恰恰就是 M 自身的內蘊列維-奇維塔聯絡 nabla_X Y，而它的法向分量則是一個全新的對象。那個法向的剩餘量，就是 M 如何彎曲的完整故事。

ambient covariant derivative, split into tangent + normal parts:

  nabla-bar_X Y  =  nabla_X Y   +   II(X, Y)
                    (tangent)      (normal)

  nabla_X Y  =  ( nabla-bar_X Y )^T   = intrinsic Levi-Civita connection of M
  II(X, Y)   =  ( nabla-bar_X Y )^N   = second fundamental form  (vector-valued, normal)

This is the Gauss formula.   ^T = tangent part,  ^N = normal part.

高斯公式：切向場的外圍導數分裂為內蘊聯絡（切向）加上第二基本形式 II（法向）。

第二基本形式與形狀算子

那個法向的剩餘量 II(X, Y) = (nabla-bar_X Y)^N，就是 M 在 M-bar 中的第二基本形式。它的三項性質讓它好用。它是張量性的——p 處的 II(X, Y) 只依賴 X 與 Y 在 p 點的值，而與如何延拓無關，因為那些礙事的導數項都落在切向部分裡而被減掉了。它是對稱的，II(X, Y) = II(Y, X)，這是 nabla-bar 無撓性的直接後果（括號 [X, Y] 與 M 相切，所以沒有法向部分來破壞對稱性）。而且它是取法向量值的：對一個超曲面（餘維為一），你可以選一個單位法向量 nu，把 II 讀成一個取純量值的形式 II(X, Y) = h(X, Y) nu，恰恰還原你在第一冊為曲面算出的第二基本形式。

還有一種把同一份資料打包的對偶方式，往往更為方便：形狀算子（或外因加滕映射）。固定一個單位法向量 nu 並微分它：-nabla-bar_X nu，投影回切空間，便在 T_p M 上定義一個線性映射 S_nu(X)。形狀算子與第二基本形式是同一對象的兩個面，由 g(S_nu(X), Y) = h(X, Y) 繫在一起——把算子與度量配對就給出那個形式。因為 h 是對稱的，形狀算子 S_nu 對 g 是自伴的，於是譜定理適用：在每一點它都有實的特徵值 k_1, ..., k_n。這些就是主曲率，它們的特徵向量是主方向，而它們的對稱函數就是你已熟知的曲率——平均是平均曲率 H，乘積則（對曲面而言）是高斯曲率。

高斯與科達齊：外蘊彎曲如何掌管內蘊曲率

現在來收成。我們手上有兩個曲率張量在運轉——M-bar 的外圍 R-bar 與 M 的內蘊 R——以及一個把它們連起來的彎曲張量 II。高斯方程就是把它們關聯起來的那道精確帳目：它說 R-bar 與 R 之間，相差一個關於 II 的精確二次表達式。寫成截面形式，對張出一個平面的正交歸一切向量 X、Y，有 K(X,Y) = K-bar(X,Y) + [h(X,X) h(Y,Y) - h(X,Y)^2]，其中 K 是 M 的內蘊截面曲率，K-bar 是沿同一平面的外圍截面曲率，h 則是純量第二基本形式。反過來讀，M 自身的內蘊曲率，就是它從外圍曲率所繼承的那一部分，再由它如何彎曲來修正。這正是高斯為曲面所發現的同一筆帳目，如今對任何黎曼曲率背景中的任何子流形陳述出來。

高斯並非單獨行動。它的搭檔是科達齊方程，它約束第二基本形式如何逐點變化：在平坦的外圍中它說 (nabla_X II)(Y, Z) = (nabla_Y II)(X, Z)，亦即 II 的協變導數在三個位置上完全對稱，而在彎曲的外圍中，這個不對稱量恰恰是 R-bar 的法向分量。這一對有著乾淨的分工：高斯把彎曲轉化為內蘊曲率，科達齊則是把彎曲的變化率繫於外圍曲率的可積性條件。它們合起來，就是任何誠實的第二基本形式都必須遵守的全套相容性關係——這個事實我們會在本篇結尾兌現。

高斯方程有一個著名的推論。取 M 為平坦的 M-bar = R^3 中的一個曲面。那麼 K-bar = 0，外圍項消失，公式坍縮成 K = h(X,X)h(Y,Y) - h(X,Y)^2，這恰好就是主曲率之積 k_1 k_2——形狀算子的行列式。但 k_1 k_2 是外蘊地定義的，透過它在空間中的嵌入，而左邊的 K 卻是純內蘊的，僅憑度量就能算出。一個外蘊定義的量竟然是內蘊的，這便是 絕妙定理，高斯在第一冊裡那條了不起的定理，在此作為一行的特例落了下來。它的後果毫無改變且生動如昔：你無法把球面攤平到平面上而不扭曲距離，因為球面上 K = 1、平面上 K = 0，而單憑彎曲永遠改變不了 K。

一個算過的例子：作為超曲面的圓球

沒有什麼比在半徑 r、坐落於 R^(n+1) 中的球面 S^n 上跑一遍，更能讓這些公式變得具體。這裡每一步都很短，而答案恰恰就是那個著名的——這正是做這件事的用意。跟著下面四個動作走，你就算出了第二基本形式、形狀算子、主曲率，以及球面的內蘊截面曲率，最後這個是透過高斯方程得出，而非靠硬磨克里斯多福符號。

在半徑 r 的 S^n 上某點 p 選取朝外的單位法向量：它就是 nu = p/r，即縮放成單位長的位置向量。R^(n+1) 上的外圍聯絡不過是對分量作尋常的方向微分，所有 Gamma-bar = 0。
計算形狀算子：S_nu(X) = -(nabla-bar_X nu)^T = -(nabla-bar_X (p/r)) = -(1/r) X，因為把位置場 p 沿方向 X 微分恰好就回傳 X。所以 S_nu = -(1/r) 乘上切空間上的恆等映射。
讀出主曲率：S_nu 是恆等映射的純量倍數，所以每個方向都是主方向，且所有主曲率都等於 -1/r（所有 k_i 相等的點是臍點——球面是全臍的，在每一點、每個方向都一樣）。純量第二基本形式為 h(X,Y) = -(1/r) g(X,Y)。
把這個代入外圍平坦 K-bar = 0 的高斯方程：對正交歸一的 X、Y，分子是 h(X,X)h(Y,Y) - h(X,Y)^2 = (1/r^2)(1)(1) - 0 = 1/r^2，所以 K = 1/r^2。半徑 r 的球面有常截面曲率 1/r^2——正的、隨球面增大而縮小，恰如直覺所要求的。

空間形式：三個常曲率模型

球面的計算遞給我們三個最重要的黎曼流形中的第一個。一個空間形式是一個完備、單連通、常截面曲率的黎曼流形——意思是 K 在每一點、每個二維平面上都是同一個數。一條奠基性的分類斷言恰有三個，每個符號的 K 各一，而它們每一個都被逼成這些模型之一，僅差縮放與等距。空間形式就是第一冊以公理方式引入的那些彎曲幾何，如今實現為貨真價實、度量可以寫下來的黎曼流形。

每個 K 的符號各對應一個模型。K > 0 時是圓球 S^n(r)，K = 1/r^2（球面幾何）；K = 0 時是平坦歐氏空間 R^n（平坦幾何）；K < 0 時是雙曲空間 H^n，K = -1/r^2（雙曲幾何）。僅差縮放，我們可歸一化成 K = +1, 0, -1。引人注目的是，這三者都帶有一個用測地極座標寫出的單一度量 ds^2 = dr^2 + f(r)^2 d(omega)^2，其中 d(omega)^2 是方向單位球上的圓度量；唯一改變的是徑向輪廓 f(r)——K = +1 時 f(r) = sin r，K = 0 時 f(r) = r，K = -1 時 f(r) = sinh r。一個範本，三種三角風味。

三點誠實的提醒能讓這不淪為口號。第一，前提是承重的：「完備且單連通」才把模型釘住。去掉單連通，你會在許多不同的整體形狀上得到相同的局部幾何——平坦環面與平坦 R^2 都有 K = 0 卻不等距，而平坦克萊因瓶的 K 也是 0；常曲率這個「條件」是局部的，空間「形式」的分類則是整體的。第二，上面的度量是用測地極座標寫的，而那單一的輪廓函數 f(r)——sin r、r、sinh r——恰恰是滿足 f'' + K f = 0 的雅可比場的大小，這正是為何這三種三角風味在比較幾何裡處處重現。第三，約定：許多書歸一化成 K = +1, 0, -1，另一些則保留半徑 r，所以一條未附歸一化的公式是含糊的。

為何這要緊：基本定理與前路

高斯與科達齊不僅是嵌入的後果——它們合起來就是嵌入的完整藍圖。子流形理論基本定理說，第一基本形式（度量）與第二基本形式（彎曲），只要它們作為相容性條件滿足高斯與科達齊方程，就唯一地決定了子流形，僅差外圍空間的一個剛體運動。這是第一冊曲面基本定理與絕妙定理那一圈的高維手足：內蘊資料加上彎曲資料，受高斯-科達齊約束，恰好足以重建那個形狀。曲率不是從曲面上算出來的事後補充；那些曲率方程「就是」讓一個曲面得以存在的可積性條件。

你方才認識的空間形式，是整級後續的沉默參照點。黎曼幾何的每一條比較定理——博內-邁爾斯（里奇曲率由一個正常數從下界定，逼出一個直徑有界的緊流形）、嘉當-阿達瑪（非正曲率使指數映射成為覆蓋，於是萬有覆蓋是 R^n）、球面定理（夾擠的正曲率逼出一個拓樸球面）、勞赫與托波諾戈夫比較——都是拿一個未知的流形去對照球面、歐氏空間或雙曲空間來度量。常曲率模型就是那些尺；整個比較幾何的行當，就是把一個一般流形夾在這兩把尺之間、再讀出拓樸的技藝。這正是本級對曲率的研究一路所朝向的去處。