最直，而非最短：測地線方程
上一篇你掙得了列維-奇維塔聯絡 nabla——那唯一的、與度量相容且無撓的方式，把一個向量場沿著另一個求導。如今把它花在單一一個對象上，看整個黎曼測地理論如何展開。一條曲線 gamma: I -> M 有速度 gamma'(t)，那是沿著它而活的向量場。問一個能想到的最天真的問題：gamma 何時不轉彎？R^n 中的直線，是速度永不改變的曲線，即 gamma'' = 0。在流形上沒有外圍空間可供取那個二階導數，但聯絡供應了共變的版本：當 nabla_{gamma'} gamma' = 0 時，曲線就是一條測地線，也就是它把自身速度平行搬運給自己之時。測地線是彎曲空間所允許的最直的曲線——從流形內部去感覺，它並不加速。
把它寫進一張座標卡，它便成為一套具體的常微分方程組，這正是它力量的來源。用座標 x^i 與你上次算出的克氏符號 Gamma^k_ij，條件 nabla_{gamma'} gamma' = 0 攤開成測地線方程：對每個 k，路徑座標的二階導數，加上速度的一個二次修正項，等於零。那些克氏項正是曲率的全部代價——把它們設為零，剩下的就是直線 x^k(t) = a^k t + b^k。由於這是係數光滑的二階常微分方程，皮卡-林德洛夫定理交給你的，恰好是對每個起點 p 與起始速度 v in T_p M 都有唯一一條測地線，至少在小範圍時間內如此。這個存在唯一性的事實，正是本篇其餘一切所從之生長的種子。
geodesic equation (one for each k = 1, ..., n):
d^2 x^k / dt^2 + Gamma^k_ij (x(t)) * (dx^i/dt)(dx^j/dt) = 0
flat case Gamma = 0 => x^k(t) = a^k t + b^k (straight lines)
initial data ( p, v ), v in T_p M => unique geodesic gamma_v(t)
homogeneity gamma_{c v}(t) = gamma_v(c t) (rescale speed = rescale time)為何「最直」同時意味著「局部最短」
把這些曲線喚作測地線，暗示它們很短，但我們純粹用「直」來定義它們——長度從未現身。這份和解，是本學科中最令人滿足的計算之一，它穿過變分法。固定兩點，考慮它們之間的所有曲線；長度泛函很彆扭，因為它在重新參數化下不變，所以幾何學家改去極小化較乾淨的能量泛函 E(gamma) = (1/2) integral of |gamma'(t)|^2 dt。它的臨界點，恰好就是那些等速、同時極小化長度的曲線，如此便繞開了重新參數化所帶來的退化。
現在計算第一變分：用一個變分場輕推 gamma，對能量求導，利用 nabla 的度量相容性分部積分，當端點固定時邊界項便消去。倖存下來的，是 <nabla_{gamma'} gamma', 變分場> 的一個積分——所以能量對每一個被允許的輕推都駐定，恰當 nabla_{gamma'} gamma' = 0 之時。最直的曲線與能量臨界的曲線是同一批曲線；這正是為何單單一條方程配得上測地線之名。誠實的告誡藏在「局部」二字裡：測地線是個臨界點，因而只在鄰近的競爭者之間、且只在夠短的一段上才是最短的。S^2 上的一段大圓弧整圈都是測地線，但越過對徑點之後，它就成了端點間兩段弧中較長的那一段——處處皆直，卻只在起初才最短。
指數映射：一個切空間鋪展到流形之上
這裡是把測地線常微分方程化為你能握住的幾何的裝置。固定 p in M。對每個切向量 v in T_p M，在小範圍時間內，都有唯一一條測地線 gamma_v 滿足 gamma_v(0) = p 與 gamma_v'(0) = v。齊性 gamma_{cv}(t) = gamma_v(ct) 讓你以速度換時間，所以總能藉著縮小 v 把測地線跑到時間 1。定義指數映射 exp_p(v) = gamma_v(1)：沿著從 p 朝方向 v 離去的那條測地線，走單位時間，回報你落腳之處。它是從（T_p M 中 0 的某個鄰域）這個平坦向量空間，到彎曲流形 M 的一個映射，也是線性代數與黎曼幾何之間最重要的單一橋梁。
兩個事實使 exp_p 成為對的工具，而不只是一個定義。其一，它在原點的微分是恆等映射：d(exp_p)_0 = id on T_p M，因為從 p 朝方向 v 出發的測地線，正以速度 v 離去。於是由反函數定理，exp_p 是從 T_p M 中 0 周圍一個小球，到 M 中 p 的某鄰域上的微分同胚——一個法鄰域。其二，T_p M 原點處的徑向直線 t -> tv，映成穿過 p 的那些測地線，所以切空間中的直線變成流形中的測地線。指數映射，正是切空間之平坦作為流形最佳一階模型的精確意涵：它是把彎曲空間的座標卡，畫在 T_p M 這塊平坦黑板上。
法座標與高斯引理
餵給指數映射一組 T_p M 的單範正交基 e_1, ..., e_n，你就製造出本學科最有用的座標系統。藉這組基把 T_p M 等同於 R^n，則 exp_p 的逆，對每個鄰近點 q 指派那唯一的小向量 v（滿足 exp_p(v) = q）的座標。這些就是以 p 為心的測地法座標。在其中，幾何學在單一一點上盡可能地歐氏化：度量分量滿足 g_ij(p) = delta_ij，而至為關鍵的是，度量的所有一階導數在 p 處都消失，這逼使每個克氏符號 Gamma^k_ij(p) = 0。穿過 p 的測地線，就是字面意義上的筆直座標射線。流形已在 p 周圍被拉直到一階。
別過度解讀。法座標殺死了度量在 p 處的一階導數，卻無法殺死二階導數——而那道障礙不是失敗，恰恰是全部的重點。在二階倖存下來的，正是曲率；在法座標中 g_ij(x) = delta_ij - (1/3) R_ikjl x^k x^l + (更高階)，所以度量偏離平坦 delta_ij 的二次偏差，直接讀出黎曼曲率張量。這是對「曲率量度什麼」最乾淨的陳述：它是你的流形與歐氏空間之間無法移除的二階落差，是使 g 變成常數的精確障礙。下一篇正是從這裡開場。
你能走多遠？完備性與霍普夫-里諾
以上一切都是局部的：exp_p 只在一個小球上是微分同胚，而測地線也只在小範圍時間內被保證存在。自然的擔憂是：測地線能否永遠跑下去，抑或會在有限時間內掉出某道邊緣——想想挖掉原點的平坦平面，瞄準那個洞的測地線，根本就停止存在了。當每條測地線都能延拓到所有 t in R 時，流形便是測地完備的，等價地說，是 exp_p 對每個 p 都定義在整個切空間 T_p M 上之時。這就是測地完備性，正是讓局部幾何得以化為整體的那個假設。
霍普夫-里諾定理把這些鬆散的線頭綁在一起，是本篇的拱頂石。對一個連通的黎曼流形，它宣告下列條件等價：M 是測地完備的；M 在距離函數 d(p,q) = （從 p 到 q 的曲線長度之下確界）之下作為度量空間是完備的；以及 M 的有界閉子集是緊緻的。其中任一條都附贈一個強而有力的紅利：任兩點之間都存在一條真正實現距離 d(p,q) 的極小化測地線。所以完備性升級了高斯引理的局部保證——最短路徑不只在鄰近處存在，而是整體地存在。