度量究竟是什麼：在每個切空間上的一個內積
從纖維叢那一級與第一冊起，你手上已經有一個光禿禿的光滑流形 M：一個局部看起來像 R^n 的空間，每一點 p 上都有一個由速度向量構成的切空間 T_p M。但光禿禿的流形無法告訴你一條曲線的長度，或兩個方向之間的夾角——在你加上結構之前，這些詞都毫無意義。黎曼度量 g 恰恰補上這份缺失的結構，而且方式精簡到不能再精簡：在每一點 p，它就是單一向量空間 T_p M 上的一個內積 g_p。沒有任何整體性、沒有任何奇異之物——只是每個切空間上的一個正定對稱雙線性形式，一點一個。
唯一額外的要求是光滑性：當 p 移動時，g_p 必須光滑地變動，絕不跳躍。在一張帶有座標 x^1, ..., x^n 的座標卡裡，這完全是具體的。座標向量場 d/dx^i 給出每個 T_p M 的一組基底，而度量則由那 n 乘 n 的數值矩陣 g_ij(p) = g_p(d/dx^i, d/dx^j) 完全釘住，每個元素是一個光滑函數。人們把整件事寫成線元 ds^2 = g_ij dx^i dx^j（愛因斯坦求和約定：重複的指標要對其求和）。矩陣 g_ij 是對稱的，因為內積本就對稱；它正定，因為對每個非零 v 都有 g_p(v, v) > 0——正是這份正性讓長度成為實的、非負的數。
兩個具體的例子能把這套形式語言錨定下來。在平坦的 R^2 上，度量是常值的單位矩陣，以 MATLAB 風格寫即 g_ij = [1, 0; 0, 1]，所以 ds^2 = dx^2 + dy^2——畢氏定理，被還原了。在單位圓球 S^2 上，用球座標寫，度量是 ds^2 = d(theta)^2 + sin^2(theta) d(phi)^2：請注意此時 g_ij 真的依賴於點（那個 sin^2(theta) 因子），這正是你在平坦 R^2 上看不見的那種彎曲。g_ij 對位置的這種依賴，正是日後一切有趣幾何的源頭。
從度量到幾何：長度、角度與體積
現在看這個內積真正幹活。切向量的長度 v 是 |v| = sqrt(g_p(v, v))，而 v 與 w 之間的夾角則由 g_p(v, w) = |v| |w| cos(theta) 讀出，與歐氏空間裡一模一樣——因為逐點地看，這正是一個正定內積所給你的。要量一整條曲線 c(t)（從 a 到 b）的長度，就對它速度的速率積分：長度 = a 到 b 的 sqrt(g(c'(t), c'(t))) dt 之積分。這一個積分就是從無窮小資料（一個度量）通往整體數值（一個長度）的橋樑，也是第三篇測地線的種子——那些局部使此積分極小的曲線。
度量同樣決定了一塊區域佔據多少空間。用座標寫，黎曼體積形式是 dV = sqrt(det(g_ij)) dx^1 ^ ... ^ dx^n：天真的座標體積，被因子 sqrt(det g) 修正，而這個因子記錄了度量如何拉伸或擠壓座標網格。在 g_ij 為單位矩陣的平坦 R^n 上，這個因子是 1，你便還原成尋常的體積；在圓球上，度量裡的 sin(theta) 就化為你熟悉的 sin(theta) 面積權重。倘若你在第一冊見過曲面的第一基本形式，那麼黎曼度量正是那個想法的內蘊、適用於一切維度的推廣——第一基本形式「就是」一個度量，你只是沒這麼叫它而已。
每個流形都容許一個度量——以及為何這並不顯然
在一個給定的流形上，這樣的 g 究竟存不存在？局部地說，當然存在，而且輕而易舉：在任何一張座標卡裡，直接抄歐氏內積，令 g_ij = 單位矩陣。真正的問題是整體的——這些局部碎片能不能黏成一個處處同時定義的光滑度量？答案是：對每個光滑流形都是肯定的（假設那個溫和而標準的前提，即 M 是第二可數／仿緊的），而執行這道黏合的工具，就是單位分解：一族從屬於某個座標卡覆蓋的鼓包函數，它們加總為 1，讓你能把那些局部的歐氏度量平均成單一的整體度量。
這個平均化的把戲之所以奏效，恰恰是因為正定性：一些正定矩陣，以非負的鼓包函數加權求和（而這些函數不會在任何一點同時為零），結果仍是正定的，所以拼湊出來的 g 依然是個合法的度量。這一點值得細細品味——它對勞侖茲度量會「失效」，後者可能有整體的障礙，需要拓樸條件才存在。所以「流形擁有一個黎曼度量」是自動的，但它的自動有著實在的理由，並非憑空裁定。從今以後，我們大可放心地假設 M 配備了一個 g，並把這對 (M, g) 叫作黎曼流形。
基本定理：一個度量挑出唯一一個聯絡
整門學科的關鍵就轉在這個問題上。度量讓你能在「單一」點上比較向量，但要做微積分——要微分一個向量場、要問一條曲線是否彎曲——你就必須比較「鄰近」點上的向量，而光禿禿的流形並未給出任何典範的方式來做這件事。供給這件事的結構是一個聯絡 nabla，一條規則：它把向量場 X 與向量場 Y 送到一個新的場 nabla_X Y，即 Y 沿方向 X 的協變導數。第二篇會把聯絡完整地展開；而此刻就能道出的奇蹟是：一個度量會選出其中一個。流形上有無窮多個聯絡，但度量的幾何卻逼出唯一的最佳選擇。
這個選擇由兩個條件作成。第一，度量相容性：nabla 應當尊重 g，意思是乘積法則 X(g(Y, Z)) = g(nabla_X Y, Z) + g(Y, nabla_X Z) 成立——微分長度與角度的方式，與平行移動彼此一致，所以你沿途搬運向量時，它們會保持自己的長度。第二，無撓性（對稱性）：nabla_X Y - nabla_Y X = [X, Y]，其中 [X, Y] 是你在微分拓樸裡遇過的李括號——聯絡除了流形自帶的括號之外，不額外添加任何虛假的扭轉。黎曼幾何基本定理斷言：這兩個合情合理的要求，恰恰由唯一一個聯絡所滿足。
為何它是被逼出來的：科斯居爾公式與克里斯多福符號
唯一性並非玄機——你可以用代數把這個聯絡逼到牆角。把相容性恆等式寫三遍，循環地置換 X、Y、Z 的角色，然後把其中兩式相加、再減去第三式。所有含 nabla 的項都相消，只剩一項，留下了科斯居爾公式，它把 2 g(nabla_X Y, Z) 完全用度量 g、g 的方向導數以及李括號表達出來——右邊一個 nabla 也沒有。由於 g 非退化，對所有 Z 知道 g(nabla_X Y, Z) 就完全確定了 nabla_X Y。這一道代數擠壓一次證明了兩半：存在性（這公式定義了一個聯絡）與唯一性（任何相容且無撓的 nabla 都必須遵守它）。
用座標寫，這唯一的聯絡便成為列維-奇維塔聯絡，而它的分量就是克里斯多福符號 Gamma^k_ij，由 nabla_{d/dx^i}(d/dx^j) = Gamma^k_ij d/dx^k 定義。科斯居爾公式在所有李括號都消失的座標標架裡寫出來，便坍縮成一道明確的配方：Gamma^k_ij 由度量元素的一階導數與逆矩陣 g^{kl} 構成。你不必憑信心接受這件事——這是一個有限的計算，第二篇你會親手為球面與雙曲平面跑一遍。兩個誠實的提醒：Gamma^k_ij「不是」張量的分量（它們在座標變換下會帶一個非齊次的修正項變換），而且符號與指標約定在各教科書間並不相同，所以引用任何公式之前，務必先把你自己的約定定好。
Koszul (defines the unique nabla):
2 g( nabla_X Y , Z ) = X g(Y,Z) + Y g(Z,X) - Z g(X,Y)
+ g([X,Y],Z) - g([Y,Z],X) + g([Z,X],Y)
Christoffel symbols (coordinate version):
Gamma^k_ij = (1/2) g^{kl} ( d_i g_{jl} + d_j g_{il} - d_l g_{ij} )
where d_i = d/dx^i and g^{kl} = inverse of g_{ij}這把你帶到何處，以及本級接下來的去向
退一步，看看你用每點一個內積換來了什麼。度量 g 給了你長度、角度與體積；基本定理接著免費而唯一地遞給你一種微分向量場的方式——列維-奇維塔聯絡 nabla。第二冊幾何其餘的一切，都建立在這組配對之上。測地線是滿足 nabla_{c'} c' = 0（零加速度）的曲線；平行移動是沿一條曲線解 nabla = 0；而黎曼曲率張量 R(X, Y)Z = nabla_X nabla_Y Z - nabla_Y nabla_X Z - nabla_{[X,Y]} Z 則度量二階協變導數不可交換的程度。你方才學到其存在的那個聯絡，正是這一切所賴以構築的單一對象。
- 第二篇拆解聯絡 nabla，為球面與雙曲平面明確算出克里斯多福符號 Gamma^k_ij，接著定義任意張量的協變微分。
- 第三篇把 nabla 化為測地線、指數映射與法座標——直線在彎曲世界裡的對應物，以及一點附近最乾淨的座標。
- 第四篇由 nabla 造出黎曼曲率張量，並把它蒸餾成截面曲率 K、里奇曲率 Ric 與純量曲率 S。
- 第五篇回到子流形：第二基本形式、高斯-科達齊方程，以及常曲率的空間形式（球面、歐氏空間、雙曲空間）。