長度空間、測地空間與格羅莫夫-豪斯多夫距離

從度量到長度

在黎曼流形上，你是把速度對度量 g 積分來度量曲線，而兩點間的距離是這些長度的下確界。度量幾何問了一個更大膽的問題：如果你手上只剩距離函數 d，沒有 g、沒有圖卡、也沒有光滑性，那還剩下什麼？答案出人意料地豐富。第一步是直接從 d 重建出長度的概念。給定一條曲線 gamma: [0, 1] -> X，把區間切成 0 = t_0 < t_1 < ... < t_n = 1，把每一小段 d(gamma(t_{i-1}), gamma(t_i)) 加起來，再對所有這樣的分割取上確界。這個上確界就是 gamma 的長度，記作 L(gamma)。

為什麼是上確界而不是積分？因為更細的分割只會看到更多的彎曲：細化一個分割絕不會讓和變小，因為三角不等式說一段直跳至多等於經過一個插入點的兩段之和。所以這個上確界才是誠實的、與分割無關的總量。若它有限，就稱 gamma 為可求長的；一條曲線可以連續卻有無限長度，就像科赫曲線這類碎形那樣。這正是你在黎曼距離中見過的構造，只是脫去了光滑的鷹架。

L(gamma) = sup over partitions  sum_{i=1}^{n} d( gamma(t_{i-1}), gamma(t_i) )

        always:   d(x, y)  <=  L(gamma)   for any gamma from x to y
  length metric:   d(x, y)  =  inf { L(gamma) : gamma joins x to y }

長度空間：當距離就是最短長度

注意這個不等式 d(x, y) <= L(gamma)：直線距離絕不會超過任何路徑的長度，因為長度本身就是把一段段各自滿足三角不等式的跳躍加總起來的。長度空間就是把這道縫隙完全擠掉的度量空間：d(x, y) 等於連接 x 與 y 的曲線長度之下確界。換句話說，距離不是某個從外部硬加上去的抽象數字；它是你在空間內部真正能走的、最有效率旅程的代價。

經典的反例讓這個想法更鋒利。取平面上的單位圓，賦予它從 R^2 繼承來的度量（弦長距離）。兩個鄰近點之間的直線距離是弦，但圓內沒有任何曲線比弧短，而弧又比弦長。於是 d(x, y) 嚴格小於每一個 L(gamma)：弦長度量不是長度度量。補救之道是改用弧長本身作為距離，這時圓就成了長度空間，距離等於較短的那段弧。

測地空間與度量版霍普夫-里諾定理

長度空間告訴你距離可以被越來越好的曲線逼近，但這個下確界未必被達到。測地空間要求得更多：任意兩點之間存在一條真正實現該距離的曲線，亦即滿足 L(gamma) = d(x, y) 的曲線 gamma。這樣的最短化曲線就是度量意義下的測地線，而且它自動被參數化成沿線距離與參數成正比。要當心慣例的衝突：在黎曼幾何裡，測地線指的是測地方程的任何局部最短解，未必是整體最短；而在度量幾何裡，它通常指整體最短的線段。讀書時務必確認對方用的是哪一種。

長度空間何時升級為測地空間？橋樑是度量版霍普夫-里諾定理（霍普夫-里諾-科恩-佛森）。它說：一個完備且局部緊緻的長度空間就是測地空間，其中每個有界閉集都是緊緻的，而且事實上任意一對點之間都存在最短化曲線。這是你在黎曼流形上用過的光滑版霍普夫-里諾定理在度量空間中的姊妹，在那裡測地完備性、度量完備性與最短測地線的存在性三者一致。

豪斯多夫距離：把集合並排比較

在我們能比較兩個完整空間之前，先暖身：比較已經坐落在同一個共同度量空間 Z 裡的兩個子集 A 與 B。豪斯多夫距離 d_H(A, B) 問的是：你得把每個集合膨脹多遠，它才能把另一個吞進去？把 A 膨脹半徑 r 得到它的 r-鄰域；d_H(A, B) 就是使得 A 的 r-鄰域包含 B、且 B 的 r-鄰域包含 A 的最小 r。只要 B 有一個點遠遠突出於整個 A 之外，光是這道缺口就會把 d_H 撐大。它是 Z 的有界閉子集上一個如假包換的度量。

  N_r(A) = { z in Z : d(z, A) <= r }        ( the r-neighborhood of A )

  d_H(A, B) = inf { r >= 0 :  A subset N_r(B)  and  B subset N_r(A) }

格羅莫夫-豪斯多夫：空間本身之間的距離

豪斯多夫距離需要兩個集合都在同一個 Z 裡。格羅莫夫的飛躍是把這根拐杖拿掉。給定兩個彼此相隔甚遠、毫不相干的緊緻度量空間 X 與 Y，格羅莫夫-豪斯多夫距離 d_GH(X, Y) 是 d_H(f(X), g(Y)) 在「把兩者等距嵌入所有可能的共同空間 Z 的所有方式」上取的下確界。你可以自由挑選最有利的共用房間來把 X 與 Y 疊在一起；d_GH 度量的就是這最佳疊合。兩個空間距離為 0 恰當它們等距，所以 d_GH 是「緊緻空間在等距意義下」這個集合上的度量。

「在所有 Z 上取下確界」的定義概念上乾淨，計算上卻沒用。實務上你改用等價的圖像——對應關係：一個對應關係把 X 的點與 Y 的點配對（每個 x 至少配到一個 y，反之亦然），它的畸變是任一配對所扭曲的距離量之最大值，即 |d_X(x, x') - d_Y(y, y')|。於是 d_GH(X, Y) 等於所有對應關係之畸變下確界的一半。這把一個抽象的嵌入問題轉化成一個你真能估計的具體配對問題。

1. 要從上方界定 d_GH，只需給出一個好的對應關係並算出它的畸變；你永遠不需要最優的那個就能得到上界。
2. 一個算例：設 X 為單點，Y 為直徑 D 的緊緻空間。任何對應關係都把這個點與整個 Y 配對；畸變是最大的 |0 - d_Y(y, y')| = D，故 d_GH(單點, Y) = D / 2。
3. 序列：X_n -> X（在 d_GH 意義下）意味著這些空間在每個尺度上都越來越相像，這個概念強到足以撐起格羅莫夫緊緻性定理，以及對曲率有界流形之極限的研究。

格羅莫夫-豪斯多夫收斂有一個值得誠實點出的特性：一列光滑流形可以收斂到一個不再是流形的極限。一個越捏越薄的扁平環面收斂到一個圓；流形可以塌縮到更低維的空間，或長出只是亞歷山德羅夫空間而非光滑空間的奇異點。這是特性而非缺陷——它正是粗略觀點之所以重要的全部理由，並為更粗糙的比較擬等距鋪路，而後者正是這個單元後續關於字度量與幾何群論的諸篇所要建立之上的。