為何需要薩德：臨界值是測度為零的偶然
在上一篇裡，正則值定理給了你一份漂亮的獎賞：若 q in N 是光滑映射 f: M -> N 的正則值，則原像 f^(-1)(q) 是維度為 dim M - dim N 的光滑子流形。明顯的隱憂是：正則值究竟存不存在？一個映射可能有整段弧的臨界點；憑什麼臨界值不會塞滿 N，讓你無從下手？
薩德定理正是答案，而且強得近乎驚人。對任意光滑 f: M -> N，臨界值的集合（即 df 不滿射之處的像）在 N 中測度為零。注意這個不對稱：臨界點可以很龐大——常值映射的每一點都是臨界的——但它們的像卻可忽略。因此薩德定理保證正則值不只存在，更是壓倒性的多數：你隨手挑的幾乎每個 q 都是正則的。
橫截性：兩個子流形相交的正確方式
正則值是 dim N 退化成一個點的特例。其成熟版本就是橫截性。M 的兩個子流形 A、B 在點 p 橫截相交（記作 A pitchfork B），指的是它們的切空間合起來張成全空間：T_p A + T_p B = T_p M。這不是直和——兩空間允許重疊——你只要求它們合起來填滿整個空間。
R^3 裡的圖像說明一切。兩個曲面（各維度 2）橫截相交於一條曲線（2 + 2 - 3 = 1）；這是一般而穩定的情形。R^3 裡兩條曲線（維度 1）唯有彼此錯開時才橫截，因為 1 + 1 < 3 意味著它們無法張成全空間，除非根本不相觸——確實，空間中隨手放的兩條線不會相交。當橫截性成立時，A 交 B 本身就是子流形，維度為 dim A + dim B - dim M。
transverse: dim(A cap B) = dim A + dim B - dim M surfaces in R^3: 2 + 2 - 3 = 1 (a curve) curves in R^3: 1 + 1 - 3 = -1 (so generically empty)
為何在意？因為橫截性既穩定又一般。穩定：橫截相交經小擾動後仍橫截（張成條件是開的）。一般：由托姆橫截性定理——這是薩德定理的參數化升級——任何映射都能被任意小地擾動，直到它與一個固定子流形橫截。所以即便上天交給你一個相切、退化的相交，你也可以在無害的輕推之後假設橫截性。這正是微分拓樸中「處於一般位置」的對應物。
模 2 度數：誠實地數原像
現在令 M 緊緻，並設 f: M -> N 是同維度流形之間的光滑映射，N 連通。取一個正則值 q（薩德說你辦得到）。則 f^(-1)(q) 是 M 中緊緻的零維子流形——一組有限點。最簡單的不變量就是把它們模 2 來數：deg_2(f) = f^(-1)(q) 中的點數，再取模 2。
奇妙之處在於：這個數不依賴於你選了哪個正則值 q，並且在光滑同倫下不變：若 f 與 g 光滑同倫，則 deg_2(f) = deg_2(g)。這兩個事實背後的引擎，是緊緻一維流形的分類：同倫 F: M x [0,1] -> N 之正則值的原像，是一個帶邊界的緊緻一維流形，而緊緻一維流形的邊界點數為偶數。這個奇偶性就是全部證明，也說明了為何在任何定向登場之前，「模 2」就先出現了。
布勞威爾度數：記住定向的帶號整數
現在假設 M 與 N 皆已定向，M 緊緻，N 連通，兩者皆 n 維。在每個原像點 p in f^(-1)(q) 處，微分 df_p: T_p M -> T_q N 是同構（因 q 正則），故它要嘛保定向、要嘛反定向。據此賦予 sign(p) = +1 或 -1。f 的度數就是這個帶號和：deg(f) = sum over p in f^(-1)(q) of sign(p)。這就是映射的度數，一個如假包換、可以為負的整數。
標準範例是 S^1 上的圓周映射 z -> z^k（或其在 S^n 上的高維表親）。每個值恰有 k 個原像，且符號全同，故度數恰為 k——這就是你早已直覺感受到的纏繞整數。反射 z -> conjugate(z) 的度數為 -1：單一原像，定向翻轉。度數在複合下具乘性，deg(g . f) = deg(g) deg(f)，且如同 deg_2 一樣是同倫不變量——但如今它記得方向，能區分模 2 度數無法分辨的 k 與 -k。
度數是通往一疊定理的門戶。代數基本定理由此而出（球面上的 n 次多項式映射度數為 n，故有 n 個計重根）。毛球定理說的是 S^(2n) 上的向量場必在某處消失，這可透過某個高斯型映射的度數來解讀。而透過龐加萊–霍普夫定理，向量場零點的指標之和等於 M 的歐拉示性數——度數把一個局部計數與一個整體拓樸數連了起來。
相交數與莫爾斯理論一瞥
橫截性與度數匯流成相交數。若 A、B 是緊緻定向流形 M 中、維度互補（dim A + dim B = dim M）的緊緻定向子流形，且橫截相交，則 A 交 B 是一組帶號的有限點；其帶號總和 I(A, B) 是同倫不變量。這正是相交重數的幾何核心，並對偶地對應上同調中的杯積——代數拓樸數的正是幾何所見的同一批交點。
當相交看起來退化時，標準做法如下。
- 檢查橫截性：在每個公共點 p，檢驗是否 T_p A + T_p B = T_p M。若是，便完成了——把這些點列出。
- 若某處相切，以任意小的光滑同痕擾動 B；托姆橫截性定理（帶參數的薩德定理）使擾動後的 B 與 A 橫截。
- 在每個橫截點，將 T_p A (+) T_p B 的定向與 T_p M 的環境定向相比較，讀出符號 +1 或 -1。
- 把符號相加。由於此計數是同倫不變的，雜亂的原始情形與乾淨的擾動會給出相同的整數 I(A, B)。
這一切為本級的壓軸鋪好了路：莫爾斯理論。莫爾斯函數是一個臨界點皆非退化的光滑映射 f: M -> R——這正是薩德定理使其成為典型的那種一般性。每個臨界點帶有一個指標（下降方向的數目），而這些指標重建了 M 的拓樸，透過莫爾斯不等式告訴你它的貝蒂數。橫截性、正則值與度數都是熱身；莫爾斯理論才是數臨界點開始回報整個流形形狀之處。我們將在下一篇追索它。