切叢、向量場與微分

從單一切空間到整個叢

上一篇我們釐清了光滑流形 M 究竟是什麼：一個被座標卡覆蓋、且轉移映射皆光滑的空間。在每一點 p ∈ M 上，都坐落著一個向量空間，即切空間 T_p M，其維數與 M 同為 n——把它想成通過 p 的所有曲線速度所構成的平面。到目前為止，每個 T_p M 都是孤立的對象。本篇的飛躍，便是把所有切空間黏合成它自身的單一光滑流形。

這個黏合後的對象就是切叢 TM：作為集合，它是所有 T_p M 的無交併，但它帶有自己 2n 維的光滑結構。TM 中的一點是一對 (p, v)——一個基點 p 連同 T_p M 中的一個切向量 v。忘掉向量的那個映射 pi(p, v) = p，便是投影 TM -> M，而 p 上方的纖維，即 pi^(-1)(p)，恰好是 n 維向量空間 T_p M。這是向量叢最初也最親切的例子。

為何 TM 是光滑的，而不只是一堆平面的堆疊？M 上每張座標卡 (U, x^1, ..., x^n) 在 U 的每一點都交給你一組座標方向基底 d/dx^1, ..., d/dx^n，於是 U 上任一切向量都可寫成 v = v^1 d/dx^1 + ... + v^n d/dx^n。這 2n 個數 (x^1, ..., x^n, v^1, ..., v^n) 便是 TM 中 pi^(-1)(U) 上的座標。在兩張座標卡重疊處，v^i 依座標變換的雅可比矩陣轉換——這是每根纖維上一個光滑、可逆的線性映射——而這正是讓 TM 成為流形、而非一團雜亂的關鍵。

局部平凡，整體扭曲

局部上，TM 永遠平淡無奇：在單張座標卡 U 上方，它不過是 U x R^n，一疊平行的 R^n 副本。這稱為局部平凡化，也是任何向量叢的定義性承諾。有趣的問題在整體：你能否一次找到覆蓋整個 M 的「一個」平凡化？若可以，TM 就是乘積 M x R^n，我們便說 M 是可平行化的。

通常你做不到——而這個失敗本身就是幾何，不是記帳。圓 S^1 是可平行化的（一個處處非零的切向量場繞它流動），而令人驚奇的是，環面與三維球面 S^3 也是。但二維球面 S^2 並非如此：毛球定理說 S^2 上每個切向量場都必在某處消失，因此你永遠無法梳出一個整體標架。叢 TM 記得這個障礙；乘積 M x R^n 卻忘了它。這正是我們寧用叢、不用乘積的全部理由。

向量場：TM 的光滑截面

既然 TM 已經存在，向量場 X 便有了乾淨的定義：它是叢的一個光滑截面，也就是一個光滑映射 X: M -> TM，使每個 p 都滿足 pi(X(p)) = p。換句話說，X 把每一點 p 指派到該點自身切空間 T_p M 中的一個切向量 X_p，且此指派隨點光滑變化。想像 M 的每一點都插上一支箭，隨你移動而徐徐轉向——天氣圖上的風場，正是誠實的心像。

向量場還有第二副等價的面孔，你會不斷用到：X 是光滑函數上的一個導子。給定光滑的 f: M -> R，向量場吞下 f 並產出一個新函數 (Xf)(p) = f 沿 X_p 的方向導數。在座標卡中，這不過是 X(f) = X^1 df/dx^1 + ... + X^n df/dx^n，並滿足萊布尼茲律 X(fg) = f X(g) + g X(f)。「每點一支箭」與「一階微分算子」是同一件事的兩種描述——可自由切換。

兩個向量場作為算子並不對易，而這個失敗有個名字：李括號 [X, Y] = XY - YX。乍看之下 XY 像是二階算子，但二階導數相消，使 [X, Y] 仍是一個道地的向量場。在幾何上，它衡量你若先沿 X 流動一小段、再沿 Y、再沿 -X、再沿 -Y 後會漂移多少——李括號正是這個方框未能閉合的首階偏差。本級第 5 篇將完整介紹流與括號。

微分：映射如何搬動切向量

光滑映射 f: M -> N 不該只搬動點，也該搬動速度。它在 p 處的微分，記作 df_p 或 f_*，是線性映射 df_p: T_p M -> T_{f(p)} N，把通過 p 的曲線速度，送到其像曲線通過 f(p) 的速度。這正是多變數微積分中雅可比矩陣的、不依賴座標的正確推廣——而在座標下，它「就是」f 的雅可比矩陣。

f: M -> N,   curve c(t) in M with c(0) = p

  df_p( c'(0) )  =  (f o c)'(0)        (push the velocity forward)

in charts:   df_p = Jacobian( y(x) ),   (df)^a_i = d y^a / d x^i

  X vector field on M  =>  f_* X  defined only if f is a diffeomorphism

微分把 c 的速度送到 f 與 c 合成後的速度；在座標下它就是雅可比矩陣。

把所有 df_p 捆在一起，便得到全空間之間單一的光滑映射 Tf: TM -> TN，即 整體微分（在切向量上也稱為推前）。請仔細看方向：切向量沿 f「推前」，與 f 同向。df_p 的秩——T_p M 有多少存活下來——是一個映射最重要的局部不變量，而下一篇關於浸入、淹沒與正則值定理的整篇內容，正是對這個秩的研究。

把三者合在一起

一口氣把整幅圖講完。切叢 TM 是舞台；向量場是在每根纖維舞台上光滑地選一點的方式；而微分 df 則是流形間的映射如何拖動這些舞台及其所選向量。為看它們協作，我們走一遍：向量場如何從流誕生，再被微分讀出。

從一個流出發：一族光滑映射 phi_t: M -> M，且 phi_0 為恆等，就像風把每一點順流吹動時間 t。
對時間在 t = 0 求導：速度 X_p = d/dt|_(t=0) phi_t(p) 落在 T_p M 中。對每個 p 都這麼做，便建出一個向量場 X——此流的生成元。
現在對運動中的點施以光滑映射 f: M -> N。曲線 t -> f(phi_t(p)) 上的鏈鎖律，恰是 df_p 作用於 X_p：微分在 N 中讀出速度。
若 f 是微分同胚，這些讀出的速度本身會組裝成 N 上一個真正的向量場 f_* X——推前後的向量場。若否，你只逐點得到向量，得不到一個場。

在繼續之前，先說一句誠實的提醒。這裡的一切，都是局部到整體的黏合，加上纖維上的線性代數；我們陳述了毛球定理與 TM 作為光滑流形的存在性，卻未加證明，因為兩者各是 Lee 或 Tu 書中的一個短章，而非一句口號。回報是巨大的：手握 TM、向量場與 df，後續各篇終於能透過正則值定理談論子流形，並在不久後談論在定向流形上對形式積分。