從群走向它所移動的空間
本級前四篇把聚光燈一直打在 G 自身上——它的 李代數、它的指數映射、它的伴隨表示。但李群之所以重要，根本原因在於它們會「移動東西」。一個李群是以對稱群的身分立足的：旋轉作用在球面上，勞侖茲群作用在時空上，SU(3) 作用在夸克的色態上。這最後一篇把問題從「G 是什麼？」改成「G 做什麼？」，而答案整理成三層——G 作用在流形上、G 作用在向量空間上、以及 G 對自身積分。
回想埃爾朗根那一級的基本詞彙，如今以光滑的形式出現。一個光滑作用是一個光滑映射 G x M -> M，記為 (g, p) |-> g.p，且尊重群律：e.p = p 以及 g.(h.p) = (gh).p。一點 p 的軌道是你能抵達的所有地方，{g.p : g in G}，而它的穩定子 H_p = {g : g.p = p} 是把 p 釘在原地的子群。這兩個概念——你能去哪、以及什麼固定你——就是接下來一切的骨架。
齊性空間：當軌道就是一切
最乾淨的情形是作用為遞移的——單一條軌道填滿整個 M，因此任一點都能被搬到任一點。此時 M 稱為齊性空間：從每一點看出去都長得一樣，因為 G 自己在洗牌這些點。固定一個基點 p_0，其穩定子為 H。軌道-穩定子的對應便成為一個微分同胚 M = G/H，即左陪集 gH 的空間，其中 g 與 g' 命名同一點，恰當它們相差 H 中的某元素。這是整篇的核心恆等式：齊性空間是一個群的商。
用二維球面把它具體化。旋轉群 SO(3) 作用在 S^2 上，而你能把任一點旋轉到任一點，所以作用是遞移的。挑北極；固定它的旋轉恰好是繞鉛直軸的自旋，是 SO(2) 的一份拷貝。於是 S^2 = SO(3)/SO(2)，一個球面被實現為一個三維群對一個一維子群的商——而確實 3 - 1 = 2，正是該有的維數。同一套模板一口氣給出實射影空間、格拉斯曼流形，以及上半平面（為 SL(2,R) 對其旋轉子群的商）。
表示：當群線性地作用
現在讓 G 不是作用在彎曲的流形上，而是線性地作用在一個向量空間 V 上。一個表示是一個光滑同態 rho: G -> GL(V)：每個群元素變成一個可逆矩陣，且 rho(gh) = rho(g) rho(h)。重點在於「把抽象的群換成矩陣」，在那裡一切都可計算。你已經見過內建於群自身、最重要的例子——伴隨表示 Ad，其中 G 作用在它自己的李代數上。把任一表示在單位元處微分，就交給你一個李代數的表示，與前幾篇的李定理緊密扣合。
夢想是把每個表示拆解成原子。一個表示若 V 沒有被所有 rho(g) 保持的真子空間——沒有更小的不變目標可退守——則稱為不可約。對緊群而言，這個夢想成真：每個有限維表示都乾淨且唯一地分解為不可約表示的直和。這正是為何緊緻性——那個讓緊緻性在拓樸中如此寶貴的同一個假設——是整個理論的分水嶺。緊群表現得像有限群；非緊群（勞侖茲群、SL(2,R)）需要無限維表示，以及遠為精細的分析。
把那匹主力範例握在手裡：SU(2)，古典矩陣群之一。它的不可約表示在每個維數 1, 2, 3, ... 各恰好一個——即量子力學的自旋 0、自旋 1/2、自旋 1、... 表示。二維那個是 SU(2) 以自身作用在 C^2 上；三維那個是作用在其李代數 su(2) = R^3 上的伴隨表示，這也正是為何 SU(2) 二重覆蓋 SO(3)。整張清單由標準表示的對稱冪生成。這單一範例若徹底理解，勝過那條以最大廣度陳述的一般定理。
哈爾測度：唯一的不變積分
要在一個群上取平均——而取平均正是建造不變內積、拆解表示的引擎——你需要一個群無法挪動的積分。哈爾測度正是如此：在每個李群上都存在一個左不變測度，在正常數倍意義下唯一，使得對 f(x) 積分與對平移後的 f(gx) 積分給出相同的答案。其實你在第四篇就已經造好它了。在單位元處挑任一個非零的最高階形式，用左平移把它滑遍各處；那個左不變的體積形式積出來就是哈爾測度。莫勒-嘉當形式正是使這份搬運成為典範的抽象記帳。
左不變未必等於右不變。兩者之間的比值是一個同態 G -> 正實數，稱為模函數；當它恆為 1 時群稱為單模，於是單一個雙不變測度便能兩邊通用。對我們的故事是好消息：每個緊群都是單模的，每個半單群或交換群也是。非單模的例子是某些可解群的特徵——經典範例是直線仿射映射的「ax + b」群，那裡的伸縮使左、右平均失真程度不同。講清楚你指的是哪一邊；各文獻的預設約定不同。
left-invariant: integral over G of f(x) dx = integral over G of f(g.x) dx for all g in G
build it: omega_e = nonzero n-covector at identity -> omega_g := (L_{g^{-1}})* omega_e -> dx := |omega|
modular function Delta: integral of f(x.g) dx = Delta(g) * integral of f(x) dx
Delta == 1 <=> G unimodular <= G compact, or semisimple, or abelian
compact normalization: total volume of G = 1 (so integration = averaging)特徵標與彼得-外爾：群上的調和分析
手握一個不變積分，表示便變得可測、可比、正交。一個表示 rho 的特徵標是函數 chi_rho(g) = trace(rho(g))。由於跡在共軛下不變，chi 在共軛類上為常數——它遺忘了矩陣，只記住該不可約表示的指紋。決定性的事實（藉由對哈爾測度取平均而證得）是：相異不可約表示的特徵標是「正交歸一」的：G 上 chi_rho 乘以 chi_sigma 之共軛的積分，當兩者等價時為 1，否則為 0。於是一整個表示的分解，只需計算特徵標的內積即可讀出——精確的、有限的算術。
緊群理論的桂冠是彼得-外爾定理。它說，所有不可約表示的矩陣元合在一起，構成平方可積函數空間 L^2(G)（相對於哈爾測度）的一組完備正交基。一口氣地說，這是傅立葉級數的宏大推廣：在圓 G = U(1) 上，不可約表示就是特徵標 e^{in theta}，而彼得-外爾退化為古典的陳述——它們張成圓的 L^2。對一般緊群而言，「頻率」就是那些不可約表示，而特徵標是它們的基音。
把這一級拼合起來
退一步，看看這一級建起的整座架構。一個李群是同時也是群的流形（第一篇）；它的無窮小影子是一個帶括積的李代數（第二篇）；指數映射沿著單參數子群把代數重新接回群（第三篇）；伴隨作用、基靈形式與莫勒-嘉當形式讓群研究它自己（第四篇）；而在這裡群終於向外作用——作用在齊性空間上、透過表示作用在向量空間上、並透過哈爾測度與特徵標作用在它自己的函數空間上。那最後一條鏈，正是李理論與物理、數論、幾何三者交會之處。
關於範圍與難度的誠實結語。我們勘查的是緊緻、有限維、光滑的故事——那乾淨而完整的部分。更完整的圖景，即透過根與權對不可約表示的分類，以及半單結構理論，本身就是一整門研究所課程；而非緊與無限維群的表示論（朗蘭茲綱領就住在這裡）則是開放的研究領地。把本篇當作這片地形的一張真實地圖，而非攀登本身的替代品：定理連同其假設都被精確陳述，正是為了讓你知道哪條小徑已鋪好、哪條仍是荒野。