大 Ad 與小 ad：群如何作用在自己的代數上
到目前為止，你已把群 G 的李代數 g 看作它在單位元處的切空間 T_e G，其括積 [X, Y] 承襲自左不變向量場，而你也知道指數映射 exp: g -> G 把一個切方向送到一個單參數子群。下一個自然的問題是：群如何作用在自己的代數上？G 以共軛 C_g(h) = g h g^(-1) 作用在自身上，而這對每個 g 都固定單位元 e。於是它在 e 處的微分是一個線性映射 g -> g，記作 Ad(g) = d(C_g)_e。這就是群的伴隨表示。
對矩陣群而言，這格外具體：共軛就是貨真價實的矩陣共軛，且 Ad(g)X = g X g^(-1)，其中 X 是 g 中的矩陣。映射 g -> Ad(g) 是進入 GL(g)（向量空間 g 上的可逆線性映射）的同態——這正是「表示」的意思：群被線性變換忠實地（或至少同態地）映照。因此伴隨表示 Ad: G -> GL(g) 把群的共軛結構重新封裝成固定向量空間上如假包換的線性代數。
現在再求一次導。Ad 本身是從群 G 到線性群 GL(g) 的光滑映射；它在單位元處的微分是從 g 到 GL(g) 的李代數的線性映射，而後者就是 End(g)，即所有線性自同態構成的代數。記 ad = d(Ad)_e: g -> End(g)。其要旨——也是本主題中最重要的單一公式——在於 ad(X) 恰好就是與 X 作括積：
Ad(g) X = g X g^(-1) (group level, matrix case) ad(X) Y = [X, Y] (algebra level) Ad(exp(tX)) = exp(t * ad(X)) (the two are linked by exp)
為何 ad(X) = [X, -] 並非巧合
值得停下來想想：為何對共軛求導會掉出括積，因為這把先前各篇的一切串了起來。固定 g 中的 X 與 Y，把 Ad(exp(sX))Y 看作 g 中的一條曲線。在 s = 0 處求導，依定義便得 ad(X)Y。對矩陣群而言，exp(sX) Y exp(-sX) 在 0 處對 s 的導數等於 XY - YX——也就是換位子。所以我們當初以左不變向量場的括積引入的 g 上抽象括積，在 G 為矩陣群時，正與樸素的矩陣換位子 XY - YX 一致。這兩種括積概念是同一回事。
這一行就解釋了雅可比恆等式。對關係式 Ad(g)[Y, Z] = [Ad(g)Y, Ad(g)Z]（它說共軛尊重括積）求導，得到 ad(X)[Y, Z] = [ad(X)Y, Z] + [Y, ad(X)Z]。換言之：ad(X) 是括積的一個導子——它服從萊布尼茲法則。把 ad 的定義展開，這恰好變成雅可比恆等式 [X,[Y,Z]] = [[X,Y],Z] + [Y,[X,Z]]。所以雅可比並非憑空變出的怪公理；它是「共軛是自同構」這一顯然事實的無窮小投影。
基靈形式：由括積造出的典範內積
有了 ad，我們便能僅憑括積在 g 上製造一個雙線性形式。定義 B(X, Y) = trace(ad(X) ad(Y))。由於 ad(X) 與 ad(Y) 是線性映射 g -> g，把它們複合再取跡便得一個數，而 B 顯然是對稱且雙線性的。這就是基靈形式，是診斷李代數結構最有用的單一工具。它的大優點：它是不變的，即 B(Ad(g)X, Ad(g)Y) = B(X, Y)，而無窮小地 B([Z,X], Y) + B(X, [Z,Y]) = 0——括積對 B 是斜對稱的。
為何要在意一堆嵌套括積的跡？因為嘉當判準把 B 的符號差變成一道結構性的裁決。基靈形式非退化，恰當 g 是半單的——即沒有非零的交換理想。而 B 負定，恰當 g 是某個緊半單群的李代數。所以一個對稱矩陣（對小代數可手算）就告訴你群是否緊、是否分解成單因子。對 su(n)，基靈形式負定（緊）；對 sl(n, R)，它不定（非緊但半單）；對交換代數，它恆為零（離半單最遠）。
在半單代數上，非退化的基靈形式給出升降指標的典範方式，並且——關鍵地——在緊群上給出一個雙不變黎曼度量，其中 B（差一個符號）提供 g 上的一個 Ad-不變內積，再藉左平移鋪展到整個 G。該度量過單位元的測地線恰好是單參數子群，而其曲率可純粹由括積以代數方式算出。這正是根系與整套半單李代數的分類回饋進真正黎曼幾何的橋樑。
毛勒–嘉當形式：群的幾何盡在一個 1-形式
現在把觀點從代數翻回整個群，但要從整體著眼。在 G 的每一點 g，左平移 L_g: G -> G 是微分同胚，其微分讓你把任意切向量 v in T_g G 搬回單位元。毛勒–嘉當形式 omega 是 G 上取 g 值的 1-形式，定義為 omega_g(v) = (dL_{g^(-1)})_g(v)——它讀出「v 沿哪個左不變場、在原點處量得的方向」。對矩陣群而言這暖心地簡單：omega = g^(-1) dg，其中 dg 是座標微分構成的矩陣。所以 omega 是個取值為李代數 g 中矩陣的 1-形式，且在每點都是線性同構 T_g G -> g。
全部內容就是一條方程，毛勒–嘉當方程：d omega + (1/2)[omega ^ omega] = 0，其中 [omega ^ omega] 對李代數值作括積、對形式部分作楔積。對矩陣群你可兩行驗證：利用 d(g^(-1)) = -g^(-1) (dg) g^(-1) 對 omega = g^(-1) dg 求導，交叉項便重組成恰好的括積項。這個恆等式是可積性條件：它說形式 omega 在精確意義下是「平坦」的，也是區分一個群與另一個群幾何的結構指紋。
把三者合在一起
這不是三個分開的主題；它們是同一結構的三張臉，而要感受這點，最好的辦法是用一個小例子來計算。取 G = SU(2)，即單位四元數，其李代數 su(2) 是無跡反厄米 2x2 矩陣構成的三維空間，由 i 乘以包立矩陣張成，記為 X_1, X_2, X_3，滿足 [X_1, X_2] = 2 X_3 及輪換關係。
- 伴隨：Ad(g) 以旋轉作用在 su(2) 上；同態 Ad: SU(2) -> SO(3) 恰好就是著名的二對一覆疊，因為 g 與 -g 共軛作用相同。所以「SU(2) 的伴隨表示」字面上就是你在矩陣群那篇遇過的自旋雙覆疊。
- 基靈形式：此處 B(X, Y) = 4 trace(XY)，它負定——正是 SU(2) 為緊且單的代數憑證。經適當縮放，它就是 SU(2) 本身所是的三維球面上的圓對稱度量。
- 毛勒–嘉當：omega = g^(-1) dg 在基底 X_1, X_2, X_3 下展開成三個實 1-形式 sigma_1, sigma_2, sigma_3，滿足 d sigma_1 = -2 sigma_2 ^ sigma_3（及輪換）——這就是 S^3 上的左不變餘標架，正是用來寫霍普夫纖維化與圓對稱度量 ds^2 = sigma_1^2 + sigma_2^2 + sigma_3^2 的那些形式。
把這三行並排來讀，圈便閉合了：共軛作用（Ad）求導成括積（ad），括積建造出不變形式（基靈），而同一個括積又是把整體餘標架綁在一起的結構常數（毛勒–嘉當）。一個小小的群 SU(2)，同時就是三維球面、旋轉的自旋覆疊，以及本篇每條公式最乾淨的範例。下一篇我們讓群作用在別的空間上——齊性空間——並用不變測度在其上積分，把這套代數轉化為表示論與調和分析。