指數映射與單參數子群

從代數回到群

上一篇我們把李群 G 的李代數 g 建構為它在單位元處的切空間 T_e G，並賦予承襲自左不變向量場的括號。那是一趟單程旅行：在 e 附近對群求導，你就落進代數——一個遠比彎曲的群易於處理的有限維向量空間。如今自然要問的是，你能否反向而行——給定 g 中一個向量 X，能否重建它所來自的那一塊群？指數映射正是這張回程票。

建構如下。g 中每個 X 都是某個唯一左不變向量場（記作 X-tilde，定義於整個 G 上）在 e 處的值。如同任何向量場，X-tilde 生成一個流；但因其左不變，這個流異常剛硬。定義 gamma(t) 為通過單位元的積分曲線，故 gamma(0) = e 且 gamma'(0) = X。然後令 exp(X) = gamma(1)。換言之：從 e 出發沿 X-tilde 的流前進，經過一單位時間後抵達的群元素，我們便稱為 X 的指數。

單參數子群：那些軌跡

上方提示框中的等式 gamma(s + t) = gamma(s)·gamma(t) 並非旁枝末節——它正是核心所在。一條光滑曲線 gamma: R -> G，若對所有 s, t 滿足 gamma(s + t) = gamma(s)·gamma(t)（並自動有 gamma(0) = e），便稱為 G 的一個 單參數子群。它是從加法直線 (R, +) 到 G 的群同態：一條完全筆直、永不彎折、穿過彎曲群的路徑，是 G 不費力便擁有的、最接近測地線的東西。

與指數的關聯是一部乾淨的對照詞典。每個單參數子群恰好就是 t -> exp(tX)，其中 X 是 g 中唯一的一個向量，即它在零點的速度 X = gamma'(0)。在取指數前把純量 t 餵進代數，不過是重新縮放你沿之流動的向量，而當 t 走遍 R，exp(tX) 便描出整個子群。於是單參數子群與李代數的向量，是同一筆資料的兩套裝束：g 中的一個方向 X，或它在 G 中啟動的那條筆直軌跡 exp(tX)。

關於那條縮放規則，有個微小卻要命的警告。我們不費力便得到 exp((s + t)X) = exp(sX)·exp(tX)，因為兩邊都沿「同一」條軌跡移動。但 exp(X)·exp(Y) 幾乎從不等於 exp(X + Y)：那需要 X 與 Y 指向同一條軌跡，亦即彼此對易。真正的答案是貝克–坎貝爾–豪斯多夫公式：exp(X)·exp(Y) = exp(X + Y + (1/2)[X, Y] + ...)，其修正項全由疊代的括號構成。exp 在兩個變數上不是同態，恰恰是括號在發聲——這正是李代數為何記得群如此之多的原因。

矩陣群：exp 就是矩陣指數

對矩陣李群——任何一個古典群，如 GL(n)、O(n)、SU(n) 或 Sp(n)——抽象的指數化作你真能動手做的具體計算。李代數 g 坐落於矩陣之中，流方程是線性常微分方程 gamma'(t) = gamma(t)·X，初值 gamma(0) = I，其解便是那道道地地的冪級數。換言之，對矩陣而言，李群的 exp 與 矩陣指數 重合——正是你早已從求解線性微分方程組時熟知的那個級數。

exp(X)  =  I + X + X^2/2! + X^3/3! + ...          (converges for every matrix X)

gamma(t) = exp(tX)    solves    gamma'(t) = gamma(t) X,   gamma(0) = I

Example, the rotation group SO(2):

        [ 0  -theta ]                  [ cos theta   -sin theta ]
  X  =  [ theta   0 ]   =>   exp(X) =  [ sin theta    cos theta ]

  (a skew-symmetric X exponentiates to an orthogonal rotation)

對矩陣群，exp 是收斂的冪級數；一個反對稱的代數元素流向 SO(2) 中的一個旋轉。

那個小小的 SO(2) 例子，把整堂課縮影其中。代數 so(2) 由 2x2 反對稱矩陣構成，是由那個轉角 theta 的矩陣張成的單一實直線；其指數恰是旋轉矩陣本身。這是古典群的普遍模式：反對稱矩陣指數化為正交矩陣，反厄米化為么正，跡為零化為行列式為一。定義代數的代數約束（反對稱、跡零……），是定義群的約束（正交、么模……）的無窮小投影，而 exp 把一者轉換為另一者。

exp 究竟有多乖巧？

在單位元附近，exp 好到你不能再奢求。它在原點的微分 d(exp)_0: g -> T_e G 是恆等映射，故由反函數定理，exp 是局部微分同胚：g 中 0 的某個鄰域被光滑且可逆地映到 G 中 e 的某個鄰域。這是群上 法座標 背後的引擎，也是為何小的群元素總能唯一地寫成小代數向量的 exp——這個事實，正是第 4 篇研究伴隨表示時所倚重的。

然而在整體上，exp 會以兩種真正不同的方式失常，誠實要求你把它們分清。其一，exp 未必滿射：對非緊群 SL(2, R)，存在某些元素（跡小於 -2）根本不是 sl(2, R) 中任何東西的指數，因此你無法只靠從 e 筆直流動而抵達整個群。其二，exp 未必單射：在圓群 SO(2) 上，曲線 exp(t·X) 每轉一整圈便回到單位元，故無窮多個代數向量共享同一個像。局部微分同胚並不擔保上述任一整體性質。

一步一步計算 exp

抽象地說，exp 是一個流；在實務上，對矩陣群，你靠對角化來計算它。冪級數 exp(X) = I + X + X^2/2! + ... 尊重任何基底變換，因此若你能把 X 化為冪次透明的形式，整道級數便塌縮成閉合式。以下是標準配方，以一個你已認定屬於李代數的向量 X 走一遍。

確認 X 屬於李代數 g：驗證無窮小約束（例如 so(n) 要反對稱、sl(n) 要跡為零）。這保證 exp(X) 落回群 G 之中，而不只是落在 GL(n) 裡。
對 X 作對角化（或若爾當分解）X = P D P^(-1)。如此每個冪次都滿足 X^k = P D^k P^(-1)，冪次便不再與你作對。
對對角部分取指數：exp(X) = P · exp(D) · P^(-1)，其中 exp(D) 不過是把對角線上每個特徵值取指數——無窮級數化為尋常的純量指數。
讀出那個單參數子群：全程把 X 換成 tX 以得到 exp(tX)，即穿過 e 的整條筆直軌跡，並驗證它對每個 t 都滿足群的約束。

最後一個讓你保持誠實的提醒，尤其當 X 有重根或複特徵值時。若 X 不可對角化，你必須用它的若爾當形式，其中冪零塊會貢獻關於 t 的多項式因子（這恰是剪切、而非旋轉，現身的方式）。而各書的符號約定不一：有些作者用 gamma'(t) = X·gamma(t)（右不變）而非 gamma(t)·X 來定義 exp，這在非交換的計算中可能翻轉一個正負號。採用我們此處所用的左不變約定、把它寫清楚，你便能與第 4、5 篇所部署的指數映射保持一致。