李代數、括號與左不變向量場

彎曲群的平坦投影

在上一篇你認識了李群 G，它是一個同時也是群的光滑流形，乘法與取逆都光滑，而你也見過古典矩陣群 GL(n)、SL(n)、O(n)、SU(n) 作為實用範例。這樣的群是一個真正彎曲的對象——SU(2) 與三維球面 S^3 微分同胚，而 S^3 沒有平坦的整體座標。本級的核心發現是：你想知道關於 G 的幾乎一切，早已編碼在單一個切空間裡，也就是單位元 e 處的切空間，而這個切空間不只是個向量空間，還帶著一個額外的、形似乘法的運算，稱為括號。

為什麼是單位元，而不是別的點？因為群是齊性的：對任意 g in G，把 x 送到 g x 的映射 L_g——左平移——都是 G 的一個微分同胚，並把 e 送到 g。所以群在每一點附近看起來都一樣，而單位元不過是最方便站立的基點。向量空間 T_e G，即 e 處的切空間，是原料。把括號加到它上面，就讓 T_e G 成為 G 的李代數，習慣用一個花體小寫字母 g（讀作「哥德體 g」）來寫。整篇要講的，就是這個括號如何老老實實地產生，而非靠明令規定。

把一個切向量鋪滿整個群

讓一切運轉起來的關鍵戲法在這裡。挑一個切向量 v in T_e G。利用左平移，我們可以一口氣把它複製到群的每一點 g：在 g 處，規定那個向量就是 v 經由 L_g 的前推，也就是把 (dL_g)_e 作用在 v 上。這給出整個 G 上的一個向量場 X，因為乘法光滑，所以它光滑；而 X 之所以被稱為左不變，正是因為當你用任何左平移把它前推時，它都保持不變：對每個 h in G，(L_h) 都把 X 送到它自己。

這建立起一部完美的字典。一個左不變向量場由它在 e 處的單一值就在各處被完全確定；反過來，T_e G 中任一向量都恰好長成唯一一個左不變場。所以 G 上左不變向量場所成的向量空間，與 T_e G 在典範意義下相同——維數相同、線性結構相同。好處是我們現在握有同一對象的兩張臉：T_e G 有限維、容易想像，而左不變場則是可供你拿來求導的整體幾何對象。括號將定義在整體那一側，再讀回 T_e G。

v in T_e G   <---->   X^v   a left-invariant vector field on G

  X^v(g)  :=  (dL_g)_e (v)          (push v forward by left translation)

  invariance:   (L_h)_* X^v = X^v   for every h in G

  recover the vector:   X^v(e) = v

字典：e 處的一個切向量 <-> G 上的一個左不變向量場。

括號從何而來

回想流形那一級：流形上任意兩個光滑向量場 X 與 Y 都有一個李括號 [X, Y]，它是另一個向量場，量度它們的流無法交換的程度。具體地說，若你沿 X 流動一小段，再沿 Y、再沿 X 退回、再沿 Y 退回，一般而言你不會回到出發點；括號 [X, Y] 正是指向那個差距方向的領頭階向量。把這些場當作作用在函數上的微分算子時，它也滿足 [X, Y] = XY - YX。

現在是決定性的事實，也是整個學科的心臟：兩個左不變向量場的括號仍是左不變的。這並不顯然，但它源自一個事實——括號在任何微分同胚下都是自然的：前推與取括號可交換——而左平移正是讓 X 與 Y 各自不動的微分同胚。所以若 X 與 Y 左不變，[X, Y] 也左不變。因此括號停留在左不變場的空間之內，而那空間我們已認定為 T_e G。把結果讀回 e，便在 T_e G 上得到一個雙線性運算，那運算就是李代數 g 的李括號。

括號服從什麼、又意味著什麼

抽象地說，一個李代數是一個有限維向量空間，配上一個括號 [.,.]，它雙線性、反對稱（[X, X] = 0），並滿足雅可比恆等式 [X, [Y, Z]] + [Y, [Z, X]] + [Z, [X, Y]] = 0。雅可比恆等式不是裝飾：它正是群乘法結合律的無窮小殘餘。所以 G 的結合律——一個整體的、彎曲的性質——在坍縮到 T_e G 之後，化身為這條乾淨的代數律存活下來。這就是李代數記得它所來自之群的確切意義。

對矩陣群而言，括號有一張令人愉快的具體臉孔。若 G 以矩陣的形式坐落在 GL(n) 之內，則 T_e G 是一個矩陣空間，而李括號就只是交換子 [A, B] = AB - BA，即兩個尋常矩陣乘積相減。這並非巧合：它正是同一條 XY - YX 公式，在矩陣分量所提供的線性座標中算出來。所以舉例來說，SU(2) 的李代數是 2x2 反厄米且跡為零的矩陣空間，一個實三維空間，其括號是矩陣交換子——在選定的一組基下，它重現了 R^3 的外積結構。

把那個例子徹底攤開來，因為它值回付出。代數 su(2) 是滿足 A* = -A 且 trace A = 0 的 2x2 複矩陣 A 所成的集合，一個實三維空間。取基 e_1 = (i/2) sigma_1、e_2 = (i/2) sigma_2、e_3 = (i/2) sigma_3，其中 sigma_1、sigma_2、sigma_3 是包立矩陣。親手算交換子，會得到 [e_1, e_2] = e_3、[e_2, e_3] = e_1、[e_3, e_1] = e_2——恰是外積在 R^3 上所服從的關係。這裡的結構常數就是列維－奇維塔符號，而你方才以微縮的形式，遇見了那個在量子力學中支配角動量的代數。

為何一串有限的數字就能掌控群

固定 g 的一組基 e_1, ..., e_n。那麼每個括號 [e_i, e_j] 本身是個向量，因此可展開成 c^k_ij e_k 的和，其中 c^k_ij 是某些實數，稱為結構常數。反對稱性與雅可比恆等式化為這些常數上的多項式方程，而一旦它們被定下來，整個括號——從而群的整個無窮小結構——便被確定。一個連續、無窮、彎曲的對象，被壓縮成一串有限的數字陣列。這正是讓李理論可計算的實用奇蹟。

把 G 實現在 GL(n) 之內，並將 g = T_e G 認定為一個具體的矩陣空間。
在那個矩陣空間中選一組基 e_1, ..., e_n。
把每個交換子 [e_i, e_j] = e_i e_j - e_j e_i 算成一個矩陣。
把那個矩陣用基重新表示，以讀出結構常數 c^k_ij。
檢查反對稱性與雅可比恆等式成立——它們必然成立，因為交換子總是服從它們。

替這一切努力撐腰的深刻論斷，是李定理的主題：一個連通且單連通的李群，由它的李代數確定到同構為止；而李代數之間的同態，會積分成這類群之間的同態。我們在此不證明它們——那真的是一整門課，而證明倚賴下一篇的單參數子群與指數映射，再加上弗羅貝尼烏斯可積性定理。但結論既誠實又宏大：在無窮小的層次上，那個線性的、有限的、可計算的李代數，幾乎完整地捕捉了群。

這為接下來解鎖了什麼

你現在握有李群的線性化：一個平坦的向量空間 g = T_e G，帶著一個透過雅可比恆等式記得結合律的括號。本級接下來的一切，都是 g 與 G 之間的往返。下一篇要搭建回上去的橋——指數映射 exp: g -> G，它的像描出單參數子群，把一個切向量化為群中一條實實在在的曲線。再之後，伴隨表示會展示 g 作用在自己身上，基靈型會讓我們得以度量它，而半單李代數依根的分類，將揭示這些對象究竟有多麼剛硬。