一次一個胞腔地建造空間
走到本梯級的第四篇，你已能計算幾乎任何你寫得出表現的空間之基本群：圓周上的迴圈給出 pi_1(S^1) = Z、覆疊空間整理出子群、而 塞弗特-范坎彭定理把表現黏合起來。但請注意，那每一件工具都暗暗假設了一件事：你手上有一個由可辨認、能切割並重組的零件構成的空間。這最後一篇把那個假設變成一套方法。一個 CW 複形是歸納地以黏接胞腔建成的空間——點（0-胞腔）、弧（1-胞腔）、圓盤（2-胞腔），如此繼續——每個 n-胞腔沿著一個從其邊界球面 S^(n-1) 到你已建好部分的映射黏上去。
腦中握住一幅具體圖像。要把環面建成一個 CW 複形，取一個 0-胞腔、兩個 1-胞腔（一個迴圈 a 與一個迴圈 b，皆從那單一點出發又回到該點），與一個 2-胞腔——一個正方形——你沿著字 a b a^(-1) b^(-1) 把它的邊界黏下去。那就是整個環面：一個頂點、兩條邊、一個面。克萊因瓶以同樣方式建成，但邊界字是 a b a b^(-1)，而球面 S^2 只需一個 0-胞腔與一個 2-胞腔，其整個邊界塌縮到那一點。一個 CW 複形的資料恰恰是這個：每一維度裡的胞腔清單，以及每個胞腔的一個黏接映射，告訴你它的邊緣如何坐落在較低的骨架上。
為何 CW 複形是恰當的範疇
問一句我們究竟為何要費事去用一類特殊的空間——為何不對每個拓樸空間都工作——是公允的。誠實的答案是：同倫論只在 CW 複形上表現良好，而有兩條定理說明緣由。第一條是胞腔逼近定理：任何 CW 複形之間的連續映射都同倫於一個胞腔映射，即把 n-骨架送進 n-骨架的映射。所以當你研究同倫意義下的映射——而同倫論做的不過就是這件事——你總可假設你的映射尊重胞腔結構，把一個連續問題化約為一個組合問題。這正是本梯級裡幾乎每一項計算背後的主力。
第二條是懷特黑德定理，它精確地畫出了同倫群究竟能看見多少的界線。它說：一個 CW 複形之間的映射 f: X -> Y，若對每個 n 都在所有同倫群 pi_n 上誘導同構，則它是一個同倫等價。這正是「全體 pi_n 構成 CW 同倫型的完全不變量」之確切意涵。但請誠實地讀那個假設，因為「在同倫群上同構即等價」這句口號是個著名的陷阱。它要求有單一個映射誘導出那些同構——兩個空間可以在每一階都有抽象同構的同倫群，卻仍非同倫等價，只要沒有任何映射實現那些同構。而且它要求是 CW 複形：去掉這點，定理便乾脆地不成立。
高階同倫群：迴圈感覺不到的洞
基本群問的是：一個迴圈——一個 S^1 的映射——在 X 中能以多少種形變意義下的方式坐落？數字 1 並無神聖之處。第 n 個高階同倫群 pi_n(X, x_0) 是從 n-維球面 S^n 到 X 的帶基點映射之同倫類所成的集合，映射須把 S^n 上一個選定的基點送到 x_0。群運算推廣了迴圈的串接：把兩個映射壓到單一個 S^n 的兩個半球上。當 n = 1 時這恰好回復 pi_1。要往上攀的理由是 pi_1 對更高維的洞是盲的——球面 S^2 的 pi_1 平凡，因為球面上每個迴圈都收縮，然而 S^2 明明有一個二維的洞，而那個洞恰恰是 pi_2(S^2) = Z 所偵測到的。
有兩個結構性事實讓高階群感覺與 pi_1 不同，兩者都值得片刻深思。其一，對每個至少為 2 的 n，群 pi_n 是阿貝爾的——S^n 裡多出來的空間讓你能把一個映射滑過另一個，這個論證（埃克曼-希爾頓技巧）在迴圈上失效，因為那裡沒有可供交換的空間。其二，pi_n 遠比 pi_1 難算，而單一最尖銳的例證既誠實又令人謙卑：球面的同倫群尚未被完全知曉。我們有 pi_2(S^2) = Z 與 pi_3(S^2) = Z（霍普夫纖維化，見下文），但對一般 n > k 的 pi_n(S^k) 是一個出了名地艱難、僅被部分理解的對象——沒有閉形式公式，而計算它是數十年研究的主題。
纖維化與長正合序列
如果高階同倫群這麼難，那究竟有誰算得出來？單一最重要的工具是纖維化。一個纖維化 p: E -> B 是一個具有同倫提升性質的映射：任何到底空間 B 的映射之同倫，只要它起始於一個已提升到全空間 E 的映射，便能整體地被提升回 E。其直覺是：E 是底空間 B，每一點上方懸掛著一根纖維 F = p^(-1)(b)，並黏合得使得樓下的路徑總能在樓上被跟隨。一個覆疊空間是纖維為離散的特例；纖維化讓纖維可以是任何空間，而那恰恰是高階群所要求的推廣。
其紅利是纖維化的長正合序列，本篇一路朝著它而建的那具計算引擎。從纖維 F、全空間 E 與底空間 B 出發，它把它們所有的同倫群串接成一條無窮的正合序列，其中「正合」意指每個映射的像等於下一個映射的核——於是在任何一段局部裡，知道三個群中的兩個便釘住了第三個。這是第三篇裡覆疊映射如何讓你從全空間得出底空間 pi_1 的高階同倫類比；如今它一口氣在每一階上關聯起纖維、全空間與底空間的 pi_n。
... -> pi_n(F) -> pi_n(E) -> pi_n(B) -> pi_(n-1)(F) -> ... -> pi_0(F) Hopf fibration: S^1 -> S^3 -> S^2 (F = S^1, E = S^3, B = S^2) ... -> pi_3(S^1) -> pi_3(S^3) -> pi_3(S^2) -> pi_2(S^1) -> ... ... -> 0 -> Z -> pi_3(S^2) -> 0 -> ... exactness forces pi_3(S^2) = Z
讀那條序列：霍普夫纖維化
讓霍普夫纖維化擔起它的主角戲份，因為它是整個學科裡最乾淨的範例。3-維球面 S^3 可看作 C^2 中的單位球面；把一點送到通過它的那條複線之映射落在 CP^1 中，而 CP^1 就是 S^2。每一點上方的纖維是一個圓 S^1——那些作用在該複線上的單位模長複數。所以 S^3 是由圓編織而成的，S^2 的每一點上方各有一個，而那些圓沒有任何兩個是不互扣的：這是一個真正非平凡的叢，而非乘積，而那份非平凡性正是 pi_3(S^2) = Z 的全部內涵。
- 為纖維化 S^1 -> S^3 -> S^2 寫下第 3 階附近的長正合序列，纖維 F = S^1、全空間 E = S^3、底空間 B = S^2。
- 代入你已知道的關於圓的事實：對每個至少為 2 的 n 都有 pi_n(S^1) = 0，因為 S^1 的萬有覆疊是可縮的直線 R（回想第三篇）。所以 pi_3(S^1) 與 pi_2(S^1) 皆消失。
- 讀那一段局部 0 -> pi_3(S^3) -> pi_3(S^2) -> 0。正合性說中間的映射既是單射又是滿射——一個同構。
- 在最上頭用上你唯一需要的球面事實：pi_n(S^n) = Z（一個次數，即纏繞數），所以 pi_3(S^3) = Z。得出 pi_3(S^2) = Z——2-維球面一個非零的高階同倫群，以霍普夫映射為其生成元。
退一步，在這一個計算裡看見整個梯級的形狀。你用了 CW 複形那種逐胞腔的紀律，以知曉球面是乾淨的對象；你用了高階同倫群 pi_n，去問一個 pi_1 問不出的問題；你又用了一個纖維化及其長正合序列，把那個問題轉成兩行記帳。離去時要對界線誠實：這之所以行得通，是因為圓的高階同倫消失了、且那些球面完美地對齊——對大多數空間而言，序列兩側都有非零的群，留給你的是一個擴張問題，而非一個答案。球面的一般同倫群仍屬未知，而那道敞開的地平線，正是本梯級把你交棒給接下來的同調與上同調之處。