問題所在：pi_1 是黏成整體的局部資料
到目前為止你會算一個基本群：談迴圈那篇藉著把迴圈提升到實數線，釘下了 pi_1(S^1) = Z。此後的一切——覆蓋空間、覆疊變換、伽羅瓦對應——都是在「使用」一個你早已知道的基本群。但你要如何找出一個素未謀面的空間的 pi_1 呢？老實的答案是：迴圈是個整體的對象，而整體的對象很難對付。塞弗特-范坎彭定理正是那條分而治之的脫身之路：把空間切成幾個你了解其基本群的開片，再從各片與它們的重疊，把整體的 pi_1 重新拼起來。
讓它具體起來的圖像如下。寫 X = U union V，其中 U 與 V 都是開集，而它們的交 U cap V 是開的、非空的、且道路連通。選一個落在 U cap V 之內的單一基點 x_0，好讓底下每一個群都共用同一個家。X 中的一個迴圈，可以在它從 U 跨進 V、又跨回來的那些時刻被切開；每一段都完全落在 U 或 V 之中，而兩段相接之處，過渡發生在 U cap V 裡。於是大空間裡的一個迴圈，名副其實地是由小空間裡的迴圈砌成的一個字——而一個迴圈的同倫，正是告訴你何時兩個這樣的字描述同一個元素的規則。這一句話便是定理的全部內容；其餘不過是把這套記帳做精確罷了。
定理本身：pi_1 是一個推出（合併自由積）
現在說精確的陳述。兩個包含映射 U cap V 進入 U、U cap V 進入 V，分別誘導出兩個基本群的同態，記為 i 與 j。塞弗特-范坎彭定理說：pi_1(X, x_0) 恰好是那個合併自由積 pi_1(U) *_{pi_1(U cap V)} pi_1(V)。分兩步拆解它。第一，自由積 pi_1(U) * pi_1(V)：取兩個群的全部生成元，寫下在兩套字母之間自由交替的字，彼此之間沒有任何關係相連——這是把兩個群組合起來「盡可能各自獨立」的方式。第二，黏合：對重疊裡的每個迴圈 c，定理迫使 i(c) = j(c)，因為 X 中的同一個迴圈不可能等於兩件不同的東西。那些被迫的等同，就是你要加上的唯一一批關係。
若你接觸過範疇的語言，把它寫成一個泛性質最為乾淨：pi_1(X) 是圖表 pi_1(U) <- pi_1(U cap V) -> pi_1(V) 在群範疇中的推出。這個抽象是它的回報，而非它的玄祕——它說 pi_1(X) 是那個「最有效率」的群，能同時接收來自 pi_1(U) 與 pi_1(V) 的相容映射，並在重疊上彼此吻合。兩個日常的極限情形可以做合理性檢查。若 U cap V 是單連通的（pi_1 = 1，沒什麼好黏），你便得到樸素的自由積 pi_1(U) * pi_1(V)。若 V 本身單連通（V 不過是你縫上去的一頂可縮的帽子），那麼 pi_1(X) 就是 pi_1(U) 把 pi_1(U cap V) 的像殺掉之後的結果——你恰好碾碎了那些被 V 填補掉的迴圈。
生成元與關係：把一個群寫下來
塞弗特-范坎彭的產物幾乎總是一個群的表現：尖括號內一串生成元、一道豎線，然後一串關係子，寫作 < g_1, ..., g_n | r_1, ..., r_m >。它的意思是「以這些生成元為基的自由群，對含有這些關係子的最小正規子群取商」。自由群是「無關係」的基準（每個約化字都互異）；每個關係子 r_j 是一個你宣稱等於單位元的字。表現是幾何群論的母語，而它與拓樸的字典是精準對應的：一個生成元是一條迴圈，一個關係子是一片黏進去以殺掉那條迴圈的圓盤。所以當下一篇用胞腔搭建空間時，沿一個迴圈字黏上一片 2-胞腔，名副其實就是在 pi_1 上強加一條關係。
表現是個名字，而非指紋，而這是本主題最深的一份誠實。「同一個」群有無窮多種表現：你可以添上一個冗餘的生成元連同定義它的一條關係（一次蒂策變換），而完全不改變那個群。於是 < a | > 與 < a, b | b > 都表現整數群 Z。殘酷的後果是：沒有任何演算法能判定兩個有限表現是否給出同構的群（同構問題不可判定），甚至沒有演算法能判定一個給定的字在一般的群裡是否等於單位元（字問題）。塞弗特-范坎彭誠實而迅速地遞給你一個表現；但要把那個表現變成一個你認得出的群，有時用機器是真真切切辦不到的。
工作範例：楔合、環面、克萊因瓶、曲面
從最小的例子領起。兩圓的楔合——一個八字形——可如此覆蓋：U 圍著第一個圈，V 圍著第二個圈，重疊可縮。每一片都形變收縮到一個圓，所以 pi_1(U) = <a>、pi_1(V) = <b>、pi_1(U cap V) = 1。在平凡群上的合併積，就只是自由積，給出 pi_1 = <a, b | >，兩個生成元上的自由群。完全沒有關係——a 與 b 從來不必交換，這正是何以八字形是擁有真正非交換基本群的最簡單空間。把 n 個圓楔合起來，你便得到 n 個生成元上的自由群。
現在來看曲面，這是真正得分的例子。每一個都由一個邊被等同的正方形造出，並把它呈現為一個 CW 複形：一個頂點、各邊作為生成元，以及那片沿邊界字黏合的單一 2-胞腔。對環面，邊界字是 a b a^-1 b^-1——對易子——所以 pi_1(環面) = <a, b | a b a^-1 b^-1>，這恰恰說 a 與 b 交換：它是 Z x Z，正合你很久以前徒手算出的結果。對克萊因瓶，邊界字是 a b a b^-1，給出 pi_1 = <a, b | a b a b^-1>，等價於 a b a^-1 = b^-1。那一個符號的翻轉，讓這個群成了「非交換」的——克萊因瓶的 pi_1 不是 Z x Z，而它的交換化 H_1 = Z + Z/2 帶著不可定向性那洩漏天機的撓元。
glue one 2-cell to a wedge of circles along a boundary WORD: space boundary word pi_1 -------------- ------------------ -------------------------------- figure-eight (no 2-cell) < a, b | > free, rank 2 torus a b a^-1 b^-1 < a, b | [a,b] > Z x Z Klein bottle a b a b^-1 < a, b | abab^-1 > nonabelian genus-g surface prod [a_i, b_i] < a_i,b_i | prod[a_i,b_i] > RP^2 a a < a | a^2 > Z / 2 rule: generator <-> 1-cell (loop), relator <-> 2-cell (glued disk)
這答案買到了什麼——以及它誠實的界限
- 切：寫 X = U union V，其中 U、V 為開集，且 U cap V 為開的、非空的、道路連通；把基點 x_0 放進重疊裡。
- 辨識各片：算出 pi_1(U)、pi_1(V) 與 pi_1(U cap V)，通常是把每一片形變收縮到某個熟悉的東西。
- 追蹤重疊：找出 pi_1(U cap V) 進入 pi_1(U) 與 pi_1(V) 的兩個映射 i、j；重疊的每個生成元 c 給出關係 i(c) = j(c)。
- 拼裝：把 pi_1(U) 與 pi_1(V) 的全部生成元合在一起、它們的全部關係，再加上重疊的關係 i(c) = j(c)；這個表現「就是」pi_1(X)。
- 化簡（如果做得到）：用蒂策變換縮小表現，做交換化以讀出 H_1 作為交叉檢查，並在幸運時認出這個群。
這套方法真正為你買到的，是每一個緊曲面的基本群——可定向的虧格 g，或射影平面的連通和——以及每一個 CW 複形的基本群，因為你總能沿著胞腔切開。它還白白送上乾淨的結構性定理：楔合的結果顯示自由群恰是圖的基本群，而與覆蓋空間理論結合，它給出一行的證明：自由群的每個子群都是自由的（尼爾森-施賴爾定理）——一個純代數的事實，卻由拓樸證得。作為例行的交叉檢查，把你的表現交換化，必定重現 H_1，而對閉曲面，那些關係也定下了歐拉示性數，把 pi_1 繫回那個計數不變量。
也要對天花板誠實。塞弗特-范坎彭「只」是一個關於 pi_1 的定理；對 n >= 2 的高階同倫群 pi_n，並「沒有」任何這樣的剪貼規則，而計算它們是另一個截然不同、難得多的世界，由本級最後一篇開啟。即便對 pi_1，定理遞給你的是一個表現，而非理解——如我們所強調，認出最後得到的群可能是不可判定的。而它是一件貨真價實的拓樸工具，不是度量工具：它只看見同倫型，故它分不出一個克萊因瓶與一個平坦的克萊因瓶，也告訴不了你任何關於曲率的事。然而只要用在它的假設之內，它就是那匹讓基本群得以「可計算」的主力馬——也是通往前方胞腔與同倫論機件的橋樑。