我們的位置：從映射的同倫到帶基點的迴圈
本級第一篇交給你映射的同倫與同倫等價：兩個映射若可由連續形變相互變到便算相同，兩個空間若有來回的映射、彼此互為同倫意義下的逆，便算相同，而可縮空間就是與一點同倫等價的空間。這是個漂亮的等價關係——但它本身不給數字、不給代數、給不出任何能拿來計算的東西。本篇正是用這些原料，藉由把注意力限縮到一類非常特別的映射——迴圈——來製造出第一個如假包換的代數不變量。
先誠實說一句，與上一篇姿態相同：這是研究所層級的代數拓撲。我們假設你已熟悉點集拓撲空間、連續性、同胚、道路連通性以及基本的群論——商群、正規子群、自由群這類詞在此直接使用，不再重新推導。我們會重重倚靠的唯一先備知識，是 Vol I 對覆疊空間的概覽；若那已模糊，請在做 π₁(S¹) 計算之前先翻過一遍——在那裡它將承擔全部的工作。
建造群：迴圈、串接，以及為何需要基點
固定一個空間 X 與其中選定的一點 x_0，即基點。x_0 上的一個迴圈是連續道路 gamma: [0,1] -> X，滿足 gamma(0) = gamma(1) = x_0——它離家又歸來。兩個迴圈若其間存在一個迴圈同倫便算等價：那是一個全程把兩端固定在 x_0 的連續形變（這是相對於端點的同倫，比自由同倫更嚴格）。想像一條釘在 x_0 之針上的橡皮筋，可在 X 中任意滑動與伸縮，卻永不脫釘。這些等價類，就是我們即將構成的群的元素。
現在來定義群運算：串接。給定迴圈 gamma 與 delta，在 [0, 1/2] 上以雙倍速跑 gamma，再在 [1/2, 1] 上以雙倍速跑 delta；稱結果為 gamma 接著 delta。停在 x_0 的常值迴圈是單位元，而反向迴圈 gamma-bar（同一道路倒著走）是逆元——把一個迴圈與其反向串接，可相對於端點形變回常值迴圈。這些律則沒有一條是恰好成立的：gamma 接（delta 接 epsilon）與（gamma 接 delta）接 epsilon，作為參數化道路並非字面上相同。它們只在同倫意義下成立——這正是我們先過渡到等價類的緣由。在等價類上，結合律、單位元與逆元便全都如假包換。
由此得到的群，就是基本群 pi_1(X, x_0)。基點不是裝飾：唯有當第二個迴圈起於第一個迴圈的終點時，串接才有意義，這便迫使每個迴圈共享同一個家。令人安心的事實是，對道路連通的 X 而言，這個選擇幾乎無關緊要——一條從 x_0 到 x_1 的道路，藉共軛誘導出同構 pi_1(X, x_0) ≅ pi_1(X, x_1)。故我們通常略去基點寫成 pi_1(X)，但須謹記這個同構並非典範的（它依賴於所選道路的同倫類），這也是為何基點在理論中始終不曾徹底消失。
初步驗算：函子性，以及空間單連通的判準
有兩件事使 pi_1 真正有用，而非僅僅有定義。其一，它是函子性的：一個連續且保基點的映射 f: X -> Y，把 x_0 上的迴圈送到 f(x_0) 上的迴圈，並在同倫意義下尊重串接，於是誘導出群同態 f_*: pi_1(X) -> pi_1(Y)；恆等映射對應恆等同態，複合對應複合。其二，同倫等價在 pi_1 上誘導出同構。第二件事正是要害所在：pi_1 無法區分同倫等價的空間，故它是同倫型的不變量，而不只是同胚型的。圓盤與一點有相同的 pi_1（平凡）；二者不同胚，卻同倫等價。
基本群平凡的空間稱為單連通：每個迴圈都收縮到基點。任何可縮空間都是單連通的——R^n、任何凸集、圓盤 D^2 皆有 pi_1 = 0。但其逆命題不成立，這是此刻該標明的經典陷阱：球面 S^2 是單連通的（地球儀上任一迴圈都能滑落為一點），卻不是可縮的。單連通僅指 pi_1 的消失；可縮則要求所有更高的同倫也消失。切勿把二者混為一談——S^2 正是標準的反例。
招牌計算：藉覆疊 R -> S¹ 證 π₁(S¹) = ℤ
現在來到那條為整套裝置正名的定理：pi_1(S¹) 同構於整數 ℤ。直覺是繞轉數——圓上的一個迴圈淨繞了若干圈，逆時針為正——而論斷是：這個整數是該迴圈完整的同倫不變量，且串接會把繞轉數相加。為使其嚴謹，我們動用覆疊映射 p: R -> S¹，由 p(t) = (cos 2 pi t, sin 2 pi t) 給出，它把實數線像一條投影下來的無窮螺線那樣繞上圓周，所有整數都恰落在基點 1 的正上方。
引擎是任意覆疊空間的兩條提升性質，下一篇將以完全的一般性陳述它們，此處我們只對這一個映射使用。道路提升：給定 S¹ 中起於基點的一條道路，並在其上方選定一點，則 R 中存在唯一一條起於該點、且投影下來恰為原道路的道路。同倫提升：下方道路的一個同倫，一旦固定了起始提升，便唯一地提升為上方的同倫。R 是單連通的（它可縮），這正是著力點——在上方迴圈無從玩弄花招，故全部資訊都坍縮到提升的終點上。
- 取 S¹ 中任一以 1 為基點的迴圈 gamma。把它提升為 R 中唯一一條起於 0 的道路 gamma-tilde。由於 gamma 終於基點，gamma-tilde 必終於某個位於 1 上方的點——亦即一個整數 n。定義 gamma 的次數為該整數 n。
- 證明次數在同倫類上有良好定義。若兩迴圈相對於基點同倫，把該同倫提升；其終點全程停留在 1 之上方，而一個取整數值、又隨形變參數連續變動的函數必為常值。故同倫的迴圈次數相等，於是得到一個良定義的映射 pi_1(S¹) -> ℤ。
- 證明它是同態。串接 gamma 接 delta 的提升，是 gamma 的提升接上 delta 提升的一個平移副本；其終點相加，故 degree(gamma · delta) = degree(gamma) + degree(delta)。
- 證明它是雙射。滿射：迴圈 omega_n(t) = p(nt) 繞 n 圈、次數為 n，命中每個整數。單射：若次數為 0，則提升是 R 中由 0 到 0 的迴圈；因 R 可縮，該提升相對於端點收縮，投影下來便使 gamma 收縮——故核平凡。
這就是完整的證明，而值得停下來體會的是它的動力來源：整個計算全憑 R 為單連通。覆疊 R -> S¹ 其實正是圓的萬有覆疊，而 ℤ 的現身絕非偶然——ℤ 正是這個覆疊的覆蓋變換群，即把基點纖維置換開來的整數平移 t -> t + n。這是下一篇核心主題的最初耳語：底空間的 pi_1 等於其萬有覆疊的覆蓋變換群。請記住這個念頭。
解讀答案：次數、應用，以及誠實的界限
為何單單這一個計算如此重要？因為它是其餘一切由之生長的晶種。一旦你知道 pi_1(S¹) = ℤ，無收縮引理便隨之而來（圓盤不存在到其邊界圓的連續收縮，否則將迫使恆等映射 ℤ -> ℤ 穿過 pi_1(D^2) = 0 而分解），而由此二維的 Brouwer 不動點定理立刻落地。代數基本定理也屈服於在一個大圓上的次數論證。一個算出來的群，驅動了一連串乍看與迴圈毫不相干的定理。
如今還有幾個計算可廉價取得，每一個都靠同樣的同倫等價或覆疊邏輯。圓環、莫比烏斯帶、去心平面全都形變收縮到一個圓，故各有 pi_1 = ℤ。n 維環面有 pi_1 = ℤ^n，經由其萬有覆疊 R^n -> T^n 算得。八字形，如前所述，有自由群 F_2——那一個需要第四篇的 Seifert-van Kampen 定理，即由已知基本群的片段黏合成空間後計算其 pi_1 的工具。這些每一個都是勝過一般定理的、小而具體的範例。
在繼續往下讀之前，先給兩則慣例提醒。其一，符號：此處逆時針為正次數，但少數文本朝另一方向定向，使同構 pi_1(S¹) ≅ ℤ 差一個符號——無傷大雅，但比對公式前先確認。其二，基點的記帳各異：有些作者完全略去 x_0 並悄悄假設道路連通，另一些則全程攜帶它，以備纖維化的帶基點機制之用。挑定一個來源，記下它的慣例，並忠誠到底；本級各書之間多數看似的矛盾，都是慣例相撞，而非數學分歧。