從測地線到曲面：對面積求變分
前一篇把變分機器跑在一維對象——曲線——上，發現使能量臨界會產生測地線。現在把維數提高一級。把曲線換成嵌浸在黎曼流形 M 中的曲面 Sigma（想成漂浮於 R^3 中的肥皂膜），把固定端點換成固定的邊界曲線 Gamma = partial-Sigma，把長度換成面積。整門學問都由你已信任的同樣兩個問題支配：面積的第一階導數挑出什麼，而第二階導數對穩定性說了什麼。語法完全相同；只有答案的幾何更豐富了。
把變分如前一模一樣地架設好。取 Sigma 的一個光滑法向變分——一族曲面 Sigma_s，使 Sigma_0 = Sigma，以無窮小速度 V = f N 移動，其中 N 是單位法向量，f 是 Sigma 上一個在邊界 Gamma 上消失的函數（如此鐵絲框保持釘住）。只有法向分量要緊：把曲面沿切向推，僅是把它重新參數化而不改變面積，這是上次困擾長度的那個重新參數化對稱性的曲面類比。所以真正的自由度都編碼在單一純量 f 裡，而面積泛函 A(Sigma_s) = integral over Sigma_s of dA 變成一個關於 s 的尋常函數可供求導。
面積的第一變分：H = 0
現在求導。面積元 dA 取決於 Sigma_s 的第一基本形式（誘導度量），所以把曲面沿法向移動會改變度量，而那個改變由曲面如何彎曲支配——恰是你兩級前遇過的第二基本形式。在 s = 0 處對 dA 完成 s 求導，產生一個乾淨而好記的結果：面積的變化率等於變分與平均曲率向量配對的負值。在座標中，H 是形狀算子的跡（等價地，是第二基本形式對誘導度量的跡），所以它把主曲率相加。
First variation of area, normal variation V = f N ( f = 0 on the boundary Gamma ): d/ds |_(s=0) A(Sigma_s) = - integral_Sigma f * H dA where H = trace of the shape operator = kappa_1 + kappa_2 + ... + kappa_(n-1) (sum of principal curvatures) Vanishes for ALL admissible f <=> H = 0 everywhere on Sigma ( MINIMAL ) Graph case Sigma = graph of u(x,y) in R^3, H = 0 becomes the minimal surface equation: (1 + u_y^2) u_xx - 2 u_x u_y u_xy + (1 + u_x^2) u_yy = 0 i.e. div ( grad u / sqrt(1 + |grad u|^2) ) = 0
所以一個曲面是面積對每個固定邊界的變分的臨界點，若且唯若它的平均曲率恆等於零——這就是極小曲面的定義，其高維版本是極小子流形。當心這門學問中最常見的單一誤解：「極小」意指臨界，而非極小化。這個名稱是歷史遺留且誤導人的；H = 0 僅說面積的第一階導數為零，正如「測地線」意指臨界長度而非最短。一小片肥皂膜確實局部極小化，但一個大的極小曲面可以是面積泛函的鞍點，而判定是哪一種，正是下文穩定性討論的全部內容。對 R^3 中的圖像 z = u(x,y) 寫出時，H = 0 展開成上面所示的二階極小曲面方程——非線性，但呈散度形式，這正是現代存在性理論之所以可能的緣由。
極小性的兩副面孔：肥皂膜與調和座標
在追逐存在性之前，先用典範例子建立直覺，因為在這門學問裡，一個算過的曲面教的比一條一般定理還多。R^3 中最簡單的非平面極小曲面是懸鏈面：把懸鏈線 y = cosh(x) 繞 x 軸旋轉。它在每一點的兩個主曲率大小相等、符號相反，所以相消而 H = 0，儘管它明顯彎曲。螺旋面——由一條水平線沿 z 軸旋進所掃出的直紋樓梯面——也是極小的，而且值得注意的是它與懸鏈面局部等距：你可以透過一族單參數的極小曲面把其中一個彎成另一個而不拉伸。這些正是肥皂膜實際會形成的曲面；懸鏈面就是張在兩個同軸圓環上的膜。
極小性還有第二副、更深的面孔，悄悄把這篇連到下一篇。在曲面上選取等溫（共形）參數——在這種座標中誘導度量是一個正函數乘以平坦度量，而依共形參數化它在曲面上總是局部存在。在這種座標下，條件 H = 0 恰恰變成嵌浸映射 Sigma -> R^3 是調和的這一陳述：每個座標函數都被拉普拉斯算子零化。所以一個共形參數化的極小曲面，恰是進入 R^3 的一個共形調和映射。這絕非巧合——它是通往下一篇的橋樑，那裡狄利克雷能量與調和映射將登上舞台中央；極小曲面是它們最初也最具體的化身。
留意符號與跡的約定——各家在此分歧甚大。有些作者把 H 定義為主曲率之和（形狀算子的跡），有些定義為其平均（跡除以 n-1）；有些把 H 取作相對於選定法向的純量，有些取作法向量值量。極小條件 H = 0 不受這些任何一種影響，這是一種寬慰。但一旦你計算一個非零的 H、單位球面的平均曲率，或一個穩定性不等式，你所承襲的常數與符號便全然取決於書本。我們採用 H = 形狀算子的跡（即和）；計算前先聲明你的約定，讀第二份資料時仔細換算。
普拉托問題：薄膜總是存在嗎？
肥皂膜提出一個尖銳的存在性問題，以那位用實驗編目它們的失明物理學家命名。普拉托問題問：給定 R^3 中一條閉曲線 Gamma（一個彎曲的鐵絲圈），是否存在一個張在其上、面積最小的曲面——等價地說，一個以 Gamma 為邊界的極小曲面？物理答案顯然是肯定的；數學證明則困難而富啟發，因為樸素的策略以一種發人深省的方式失敗。取一列面積趨近下確界的極小化曲面，試圖抽出極限。面積在任何古典函數空間中都不強制：序列中的曲面可能長出細長的觸手、劇烈振盪或夾捏——極限可能根本不是光滑曲面，而面積在極限中可能掉落。誠實的困難在於，曲面空間太鬆軟而不緊。
有兩個偉大的解法，學習者應知道它們回答的問題略有不同。古典的道格拉斯-拉多解（1930 年代）限定於圓盤型曲面，並利用上一節的調和映射面孔：極小化從固定圓盤出發的共形映射的狄利克雷能量，後者在面積不乖的地方卻很乖，再從能量極小元回復出一個極小曲面。這產生一個張在 Gamma 上的圓盤，但對其他拓樸型隻字未提，且容忍自交。現代解法則擴大「曲面」這個概念本身：在幾何測度論中，人們在流（currents）或閉測（varifolds）——確實構成緊空間的廣義曲面——上極小化，靠緊性廉價地得到一個極小元，然後做真正困難的工作——正則性理論——證明那個抽象的極小元在一個小的奇異集之外是光滑曲面。
第二變分與穩定性
臨界曲面的存在性，對它是否為極小毫無定論，正如一條臨界測地線可能是鞍點。所以對面積求第二次導，「在」一個極小曲面上（一階項在此消去），讀出第二變分。其結構精確地映照前一篇的測地線指標形式，如今有兩項曲率貢獻而非一項。對一個在邊界上消失的法向變分 f N，面積的第二變分取下面的形式：一個正的「彎曲代價」積分 integral of |grad f|^2，對抗兩個失穩項——第二基本形式的範數平方 |A|^2，即 Sigma 自身彎曲多少，以及 M 在法向上的環境里奇曲率。
- 寫下這個形式。對極小超曲面 Sigma in M 上的法向變分 f N（且 f 在邊界上為零），第二變分是 Q(f,f) = integral_Sigma [ |grad_Sigma f|^2 - ( |A|^2 + Ric_M(N,N) ) f^2 ] dA——把它讀作一個正項對抗兩個負項。
- 正項 |grad_Sigma f|^2 是彎曲代價：讓變分場擺動總要付出面積，正如測地線指標形式中的 |nabla_(gamma') V|^2。它永遠非負，並為穩定性效力。
- 兩個被減去的項與穩定性作對：|A|^2 是第二基本形式的範數平方（Sigma 彎進 M 多少），而 Ric_M(N,N) 是法向上的環境里奇曲率。正的環境曲率，如 Sigma 周圍的球面，把局勢推向不穩。
- 分部積分以讀出算子。Q(f,f) 是 L f = - Delta_Sigma f - ( |A|^2 + Ric_M(N,N) ) f 這個雅可比（穩定性）算子的二次形式——一個薛丁格型算子。於是穩定性恰恰是 lambda_1(L) >= 0：最低特徵值非負。
當這個二次形式對每個容許的 f 都非負時——也就是沒有任何無窮小擺動能把面積降到二階時——一個極小曲面便稱為穩定的。注意那分析上的回報：經一次分部積分後，這個形式屬於一個薛丁格型算子 L = -Delta - (|A|^2 + Ric)，即雅可比算子，而穩定性恰恰是它的最低特徵值非負這一陳述。正如測地線的故事，一個線性算子的譜決定幾何，而它的核——L f = 0 的解，即曲面的雅可比場——記錄了穿過鄰近極小曲面的無窮小形變。肥皂膜按構造便穩定（自然找到局部極小）；張在兩環上的懸鏈面只在兩環夠近時穩定，被拉得太遠時便繃斷，就在 lambda_1(L) 越過零的那一刻。
這個穩定性不等式是現代幾何中最高產的工具之一，而它的威力來自把它讀作一個約束，而非定義。兩個例子設下誠實的期望。伯恩斯坦定理說一個定義在整個 R^2 上的極小圖像（極小曲面方程的整體解）必為平面——而漂亮的現代證明把穩定性餵進一個巧妙選取的試驗函數 f。「這在每個維數都成立」的天真希望是錯的：其類比僅對 R^n 中的整體極小圖像在 n = 8 之前成立，超過便失效，正是支配正則性的那個維數 7 門檻。第二，肖恩-丘用穩定性不等式證明了廣義相對論中的正質量定理，作法是證明穩定極小曲面無法住在純量曲率符號錯誤的區域裡。一如既往，我們陳述這些是為了展示這機器買到什麼；每一個都是貨真價實的證明，一篇論文或一門課，而非一個段落。