格是空間的離散重複
到了這裡，你對 R^n 中的凸體 K（具有非空內部的緊緻凸集）已經很熟悉，也熟悉控制其體積在閔可夫斯基和下如何變化的布倫–閔可夫斯基不等式。本篇轉向住在同一個空間裡、卻完全剛硬的第二種物件：格。固定 R^n 的一組基 b_1, ..., b_n；格 L 就是所有整數組合 m_1 b_1 + ... + m_n b_n 的集合，其中每個 m_i 屬於 Z。要在腦中抓住的圖像是 R^2 中標準的格 Z^n，但被剪切過：不一定是方格紙上的正方形，而是任何規則重複、沒有聚點的點陣。
與 L 相關最重要的一個數，是它的共體積（或行列式）det(L) = |det(B)|，其中 B 是以各 b_i 為列的矩陣。幾何上 det(L) 是基本平行多面體 {sum t_i b_i : 0 <= t_i < 1} 的體積：重複圖樣的一塊磚。把這塊磚沿格向量平移，恰好不重不漏地鋪滿 R^n——因此 det(L) 就是每個格點所佔的空間體積。同一個 L 的不同基會給出長相不同的磚，但共體積永遠相同，因為換基相當於把 B 乘上一個行列式為 +/- 1 的整數矩陣。
閔可夫斯基定理：凸性加對稱加足夠的體積
這就是核心。閔可夫斯基格點定理說：設 L 是 R^n 中的格，K 是關於原點對稱的凸體（即 x 屬於 K 蘊含 -x 屬於 K）。若 vol(K) > 2^n det(L)，則 K 含有一個非 0 的格點。這些前提不是裝飾品——去掉任何一個，結論就垮。這個敘述是閔可夫斯基定理的心臟，而整個數的幾何這門學問，都是從不斷壓榨它長出來的。
為什麼恰好是 2^n？看半尺寸的凸體 (1/2)K，它的體積是 vol(K)/2^n，而前提讓這個值嚴格大於 det(L)。現在想像基本磚的每個平移塊，把 (1/2)K 對 L 取模、折疊回一塊磚裡。若 (1/2)K 中沒有任何兩點相差一個格向量，這個折疊就會是單射，於是 (1/2)K 能塞進一塊體積為 det(L) 的磚——不可能，因為它的體積更大。這是一個按體積進行的鴿籠論證，有時稱為 Blichfeldt 引理。於是存在 (1/2)K 中相異的 x, y，使得 x - y 屬於 L。
收尾用上我們還沒花掉的兩個前提。由於 x, y 屬於 (1/2)K，故 2x 與 2y 屬於 K。由中心對稱，-2y 屬於 K；由凸性，中點 (2x + (-2y))/2 = x - y 屬於 K。但 x - y 是一個非零格向量，證畢。請仔細看每個前提是在哪裡用到的：對稱性給了我們 -2y，凸性給了我們中點，而體積下界 2^n det(L) 推動了鴿籠。抽掉對稱性，一條細長不對稱的薄片就能閃過每個格點；抽掉凸性，一塊可測但彎曲的區域也辦得到。
兩個經典收穫：平方和與狄利克雷
奇妙之處在於：一個純幾何的存在定理竟能生出算術。看費馬的二平方和定理：每個滿足 p = 1 mod 4 的質數 p 都是兩個平方的和。數論的輸入給出一個整數 u，使得 u^2 = -1 mod p。作由 (1, u) 與 (0, p) 張成的格 L；其共體積是矩陣 [1, 0; u, p] 的行列式，即 p。每個格向量 (a, b) 都滿足 a^2 + b^2 = 0 mod p，因為 b = a u + p k 迫使 a^2 + b^2 = a^2(1 + u^2) mod p = 0。現在套用閔可夫斯基。
取 K 為以 0 為心、半徑 r 的開圓盤，這是一個凸且中心對稱、面積為 pi r^2 的凸體。我們要圓內有一個非零格點，因此需要 pi r^2 > 2^2 det(L) = 4p，即 r^2 > 4p/pi。取 r^2 略大於 4p/pi 但仍小於 2p（合法，因為 4/pi < 2）。閔可夫斯基給我們一個 L 中非零的 (a, b)，使得 a^2 + b^2 < 2p。但 a^2 + b^2 是 p 的正倍數，而嚴格小於 2p 的 p 的正倍數只有 p 本身。於是 a^2 + b^2 = p。一個圓盤的幾何，剛剛把一個質數分解了。
同一具引擎也推動狄利克雷關於同時有理逼近的定理，那裡對稱凸體是一個又薄又高的盒子（板片的笛卡兒積），而非圓盤。配方永遠是同樣三步，而學會反過來運轉它——從你想要的算術，倒推出能交付它的格與凸體——才是數的幾何真正的功夫。
Three moves, every time:
1. choose lattice L -> det(L) encodes the arithmetic constraint
2. choose body K -> symmetric + convex, vol(K) > 2^n det(L)
3. Minkowski => exists 0 != v in K cap L
two-squares: L = <(1,u),(0,p)>, det = p, K = disk pi r^2 > 4p
=> a^2 + b^2 = p逐次極小與格的形狀
閔可夫斯基第一定理談的是一個短向量。他的第二定理則衡量整體的形狀。固定一個對稱凸體 K，把第 i 個逐次極小 lambda_i(K, L) 定義為最小的尺度 t > 0，使得 tK 含有 i 個線性無關的格向量。於是 lambda_1 是 K 第一次碰到非零格點的半徑——最短向量的尺度——而 lambda_1 <= lambda_2 <= ... <= lambda_n 隨著你要求更多無關方向而增大。這些數無法從任何單一的基直接讀出；它們是 L 如何坐落在 K 所給度量中的內蘊不變量。
閔可夫斯基第二定理接著把它們的乘積夾住：(2^n / n!) det(L) <= lambda_1 lambda_2 ... lambda_n vol(K) <= 2^n det(L)。上界是深刻的那一半；下界只是簡單的填裝計數。把它讀成一條守恆律：一個格不可能在每個方向上同時都很短。若 lambda_1 極小——有一個非常短的向量——則某個較後的 lambda_i 必定相應地大，因為它們的乘積被釘在 det(L)/vol(K) 附近，僅在 2^n / n! 的窗口內擺動。這正是本鋪第一篇的直覺——凸性在體積與廣度之間權衡——化為一個關於整數之斷言的精確意思。
從格到填裝與沃羅諾伊胞
在每個格點處放一個半徑 lambda_1/2 的球。由於 lambda_1 是相異格點間的最短距離，這些球的內部互不相交：你建出了一個格球填裝。它的密度是（一個球的體積）/ det(L)，因為每塊基本磚恰好承載一個球心。這是從數的幾何通往球填裝最乾淨的橋樑：一個好的格——lambda_1 相對於 det(L) 很大——就是一個密的填裝，而在 8 維與 24 維尋找紀錄填裝，恰恰就是尋找非凡的格（E_8 與利奇格）。
與填裝對偶的是鋪砌。把 R^n 的每一點指派給離它最近的格點；由 0 所佔據的區域就是沃羅諾伊胞，一個凸且中心對稱的多胞形，其平移塊鋪滿空間——是比平行多面體更貼合的磚。你在離散幾何那一級見過沃羅諾伊圖；在這裡它是自然的基本域，所以 vol(沃羅諾伊胞) = det(L) 也成立。覆蓋半徑（R^n 中任一點到 L 的最大距離）與填裝半徑 lambda_1/2，分別繫於沃羅諾伊胞的外半徑與內半徑，它們的比值刻畫了格有多圓、因而有多高效。
最後一個誠實的提醒。閔可夫斯基的定理與逐次極小談的都是格填裝；真正最難的填裝問題允許球心落在任何地方，而非只在格上。在大多數維度，最密的填裝根本不必是格，而我們就是不知道它——最佳密度僅在 1、2、3、8、24 維被確定。所以請把格的故事當作一個強大、且已完整證明的特例，別禁不起誘惑就把它叫做球填裝的全部。一如這道階梯上的別處，一個已證的特例，遠比一句關於一般情形的口號值錢。