把形狀相加：閔可夫斯基和
在前幾篇導引中，你已經認識了凸體 K：它是一個有非空內部的緊緻凸集，由它的支撐超平面所釘住，並可藉克萊因-米爾曼定理從其極點重建。現在我們讓凸體彼此互動。給定 R^n 中兩個凸體 K 與 L，它們的閔可夫斯基和為 K + L = { x + y : x in K, y in L }。具體而言，把 L 的副本平移，使其原點落在 K 的每一點上再掃過去；其聯集就是 K + L，而它仍是凸的。一個乾淨的記錄方式是支撐函數 h_K(u) = K 上 <x, u> 的最大值：它在相加之下單純地相加，即 h_{K+L} = h_K + h_L。
縮放也加入進來：對於實數 t >= 0，伸縮體 tK = { t x : x in K } 滿足 h_{tK} = t h_K。因此像 K + tL 這樣的式子描述了一個沿 L 方向長大的凸體。最具代表性的例子是 L = B，即單位球：K + tB 恰好是與 K 距離不超過 t 的所有點所成的集合，也就是 K 的外平行體或「r-鄰域」。觀察 K + tB 的體積如何隨 t 增大而成長，正是通往表面積、並最終通往等周不等式的入口。
體積化為多項式：混合體積
這裡有一個組織整個主題的結構性奇蹟。固定凸體 K_1, ..., K_m 與非負實數 t_1, ..., t_m。那麼組合的體積 V(t_1 K_1 + ... + t_m K_m) 是變數 t_1, ..., t_m 的一個 n 次齊次多項式。這就是閔可夫斯基關於混合體積的定理。將該多項式的係數適當地正規化並對稱化後，便是混合體積 V(K_{i_1}, ..., K_{i_n})：對你清單中 n 個凸體（允許重複）的每一種無序選取，各對應一個數。
兩體情形是最該內化的。對於 R^n 中的凸體，把 V(K + tL) 寫成 t 的多項式。常數項是 vol(K)，最高次項是 t^n vol(L)，而中間的各係數正是混合體積 V(K, ..., K, L, ..., L)，依各凸體出現的份數而定。特別地，最前面那個一階變分係數——乘上 t 一次方的那個——等於 n 乘以混合體積 V(K, ..., K, L)，其中含 n-1 份 K 與一份 L。
V(K + t L) = sum_{j=0}^{n} C(n,j) * W_j(K,L) * t^j (binomial expansion)
n = 2: V(K + t L) = vol(K) + 2 V(K,L) t + vol(L) t^2
n = 3: V(K + t L) = vol(K) + 3 V(K,K,L) t + 3 V(K,L,L) t^2 + vol(L) t^3
L = B (unit ball): d/dt V(K + tB) at t=0 = surface area S(K)為何要在意？因為等周問題的主角——表面積——現在成了一個混合體積。取 L = B，關係式 S(K) = n V(K, ..., K, B)（含 n-1 份 K）把古典的表面積重現為體積的導數，這正是喬裝的施泰納公式。於是混合體積把體積、表面積、平均寬度與內蘊體積統一成單一的代數裝置。它們也是單調且平移不變的，而這恰好是接下來的不等式所需要的工具箱。
布倫-閔可夫斯基不等式
現在進入核心。布倫-閔可夫斯基不等式說：對於 R^n 中非空的緊緻集（特別是凸體）K 與 L，體積的 n 次方根在閔可夫斯基加法下是凹的：vol(K + L)^(1/n) >= vol(K)^(1/n) + vol(L)^(1/n)。等號成立的充要條件是 K 與 L 同位似——除了平移與正縮放外形狀相同。可以這樣讀它：「線性維度含量」vol^(1/n) 是超可加的，永不小於各部分之和。
在一維做個一行的合理性檢查：長度 a 與 b 的兩個區間相加得到長度 a + b 的區間，確實有 (a + b)^1 = a^1 + b^1 且取等——區間總是同位似的，因此必然取等。在二維，取單位正方形 K 與單位圓盤 L。它們的和是前面提示框裡的圓角正方形，不等式說它面積的平方根至少是 1 + sqrt(pi)——這是對的，因為圓角正方形舒舒服服地同時容納了 K 的一個平移、L 的一個平移，外加連接的邊條。
有一個等價的、不依賴維度的形式往往更有用：對 t in [0, 1]，vol((1-t)K + tL)^(1/n) >= (1-t) vol(K)^(1/n) + t vol(L)^(1/n)。這恰好就是說函數 t -> vol((1-t)K + tL)^(1/n) 在 [0, 1] 上是凹的。切片圖像解釋了原因：若用平行超平面切割 R^n 中的凸體，切片的 (n-1)-體積取 1/(n-1) 次方後，會隨高度凹性地變化——這就是布倫定理。布倫-閔可夫斯基不等式正是這個切片凹性的封裝版本。
從凹性到等周不等式
現在迎來賦予本篇標題的成果。等周不等式說：在所有給定表面積的凸體中，球所圍住的體積最大；等價地，在所有給定體積的凸體中，球的表面積最小。R^n 中的銳利形式為 S(K)^n >= n^n omega_n vol(K)^(n-1)，其中 omega_n = vol(B) 是單位球的體積，且等號成立的充要條件是 K 為一個球。「圓的最好」這句口號，終於成了一條帶有前提的定理。
- 從套用於 K 與單位球 B 的布倫-閔可夫斯基不等式出發：對 t >= 0，vol(K + tB)^(1/n) >= vol(K)^(1/n) + t vol(B)^(1/n)。
- 將兩邊取 n 次方，並用二項式定理展開右邊；保留到 t 的一階項。
- 兩邊減去 vol(K) 並除以 t，再令 t -> 0+。左邊化為 vol(K + tB) 在 0 處的導數 d/dt，也就是表面積 S(K)。
- 右邊的一階項是 n vol(K)^((n-1)/n) vol(B)^(1/n)。整理 S(K) >= n vol(K)^((n-1)/n) omega_n^(1/n) 並取 n 次方，便得到銳利的等周不等式。
這段推導正是混合體積配得上其地位的最乾淨理由：表面積 S(K) 字面上就是 vol(K + tB) 對 t 的導數，而布倫-閔可夫斯基不等式以 vol(K) 的一個純冪次從下方控制住這個導數。等號情形也一併承襲——布倫-閔可夫斯基取等需要 K 與 B 同位似，這迫使 K 本身就是一個球。於是三段前看似抽象的同位似條件，恰好就是加冕球體的那個條件。
更進一步：亞歷山德羅夫-芬切爾及其發力之處
布倫-閔可夫斯基不等式是一個更深刻的混合體積陳述在 n = 2 時的影子。亞歷山德羅夫-芬切爾不等式說：對凸體 K_1, ..., K_n，混合體積滿足 V(K_1, K_2, K_3, ..., K_n)^2 >= V(K_1, K_1, K_3, ..., K_n) V(K_2, K_2, K_3, ..., K_n)。把最後 n-2 個凸體固定來讀，這是一個對數凹性陳述：映射 K -> V(K, K, 固定...) 表現得像一個凹的二次型。把每個固定槽都特化為同一凸體就重現布倫-閔可夫斯基不等式；特化為球則重現內蘊體積之間一整階梯的古典不等式。
在這裡要誠實面對其難度，秉持本階梯其餘部分的精神。亞歷山德羅夫-芬切爾不等式確實困難：原始證明錯綜複雜，等號情形直到非常晚近的工作才被完全解決，且沒有布倫-閔可夫斯基那種等級的簡短俐落論證。我們陳述並闡明它的動機；真正的證明是相當分量的一章，而非一段。請把它在此出現視為通往文獻的路標，而非我們已建立的結果。
在繼續之前有兩個警告。第一，如所陳述的布倫-閔可夫斯基不等式需要集合非空，且（為了等號的刻畫）需為凸；對於非凸的可測集，藉由普雷科帕-萊因德勒的途徑不等式仍然成立，但同位似的等號情形可能失效。第二，當凸體是低維時混合體積可能為零或退化，因此「V(K, L) > 0」是一個假設，而非白送的。你剛剛看到的這套機制——閔可夫斯基和、體積多項式、1/n 凹性——也正是下一篇閔可夫斯基格點定理背後的凸幾何輸入：在那裡體積的界會迫使一個對稱的凸體吞下一個格點。