多胞形的兩張面孔：凸包與交集
由上一份指南，你已經信得過：緊緻凸體可由它的極點透過 Krein-Milman 定理重建。當那組角點是有限的，得到的就是多胞形。它有兩個等價的定義，而整個主題都建立在它們彼此一致這件事上。V-描述：多胞形是 R^n 中有限多個點的凸包。H-描述：它是有限多個閉半空間的有界交集。Weyl-Minkowski 定理說這兩者定義出完全相同的對象——每個有界的 H-多面體都是它頂點的凸包，反之亦然。
為何兩個都要堅持？因為它們各自把相反的事情變簡單。從 V 這一側，投影或取凸包是平凡的，但讀出小面卻要費工；從 H 這一側，用一條不等式去切是平凡的，但列出頂點卻要費工。R^3 中的立方體是最乾淨的例子：作為凸包它是 conv{(+/-1, +/-1, +/-1)}，八個點；作為交集它是 {x : -1 <= x_i <= 1}，六條不等式。同一個實體，兩本帳。在兩者之間轉換——頂點列舉對小面列舉——正是理論的計算核心，而且它可能呈指數爆炸。
面是被支撐超平面切出的平片
多胞形的結構活在它的面裡，而乾淨的定義要用上指南 1 的工具。一個支撐超平面 H 觸碰多胞形 P 卻不穿過它；交集 F = P ∩ H 就是 P 的一個面。依約定，P 自己與空集也算面（這兩個是「非真」面）。每個面又是一個某維度 d 的多胞形。我們按維度命名：0 維面是頂點，1 維面是邊，(dim P - 1) 維面是小面（facet），(dim P - 2) 維面是脊（ridge）。
把面按包含關係排序，就得到面格（face lattice）：一個有限的分次偏序集，有最小元（空面）與最大元（P）。這個格是多胞形的組合靈魂：兩個多胞形「在組合上相同」，恰好當它們的面格同構之時，即使其中一個是另一個被拉伸、被剪切後的版本。立方體與一般的長方盒有相同的面格；立方體與正八面體則沒有——但請注意——它們互為對偶，意思是其中之一的面格正是另一個上下顛倒後的樣子。立方體的頂點（8 個）對應八面體的小面（8 個）；立方體的小面（6 個）對應八面體的頂點（6 個）。
有兩個結構性事實不斷地發揮作用。其一，面的面仍是 P 的面，且兩個面的交也是面——所以面格確實是一個格。其二，一個 d 維多胞形對每個從 0 到 d 的維度都有面，而且（這正是下一節的引擎）你可以去數它們。我們把這些計數收進 f-向量 f = (f_0, f_1, ..., f_{d-1})，其中 f_k 是 k 維面的個數。對 R^3 中的立方體：f = (8, 12, 6)——八個頂點、十二條邊、六個小面。
Euler 關係式及其推廣
現在迎來第一個奇蹟。對任何凸的 3 維多胞形，面數並非自由的——它們滿足 V - E + F = 2。立方體：8 - 12 + 6 = 2。四面體：4 - 6 + 4 = 2。八面體：6 - 12 + 8 = 2。無論多胞形多麼歪斜，每次都是同一個「2」。這就是 Euler 關係式，而 Euler 多面體公式正是在說：這個交錯和是一個拓撲不變量——凸的 3 維多胞形的邊界是球面 S^2，而 2 正是它的 Euler 示性數。
看清它的乾淨方式，是認識到這條公式並不講凸的形狀，而講它邊界上的胞腔結構。凸多胞形的邊界與球面同胚，而把球面任意三角化（或分胞）都給出相同的交錯計數。所以 Euler 關係式其實是 S^(d-1) 的 Euler 示性數透出來的結果。在一般維度 d，它變成 Euler-Poincare 關係式：f_0 - f_1 + f_2 - ... + (-1)^(d-1) f_{d-1} = 1 - (-1)^d。對 d = 3，右邊是 1 - (-1) = 2，重現 V - E + F = 2；對 d = 4 則得 0，於是 f_0 - f_1 + f_2 - f_3 = 0。
d = 3 : f_0 - f_1 + f_2 = 1 - (-1)^3 = 2 d = 4 : f_0 - f_1 + f_2 - f_3 = 1 - (-1)^4 = 0 d = 5 : f_0 - f_1 + f_2 - f_3 + f_4 = 1 - (-1)^5 = 2 cube (d=3): 8 - 12 + 6 = 2 ok 24-cell(d=4): 24 - 96 + 96 - 24 = 0 ok
單純多胞形與 Dehn-Sommerville 方程組
Euler 只是一條方程。對一類特殊而非常常見的多胞形，方程多得多。一個多胞形稱為單純的（simplicial），若它的每個小面都是單純形——在 R^3 中意指每個面都是三角形，像八面體或正二十面體，而非立方體。單純多胞形是一般情形（把頂點稍微擾動一下，小面就變成單純形），也是最深刻的計數律的正確場景。其對偶概念，即每個頂點恰好落在 d 個小面上的，稱為單形的（simple）；立方體是單形的，八面體是單純的，兩者互為對偶。
現在是第二個奇蹟。對一個單純 d 維多胞形，f-向量滿足的不只一條、而是約 d/2 條獨立的線性方程——Dehn-Sommerville 方程組。最俐落的敘述方式要用 h-向量：它是 f-向量的一個可逆改裝，由 sum over i of f_{i-1}(t-1)^(d-i) = sum over i of h_i t^(d-i) 所定義。在那組座標下，Dehn-Sommerville 關係式坍縮成一句令人屏息的話：h-向量是迴文的，對所有 i 都有 h_i = h_{d-i}。這是你光看原始面數絕對猜不到的對稱。
- 取八面體，一個單純 3 維多胞形，其 f = (f_0, f_1, f_2) = (6, 12, 8)。
- 由 sum f_{i-1}(t-1)^(d-i) = (t-1)^3 + 6(t-1)^2 + 12(t-1) + 8 算出 h-向量，展開得 t^3 + 3t^2 + 3t + 1。
- 讀出 h = (h_0, h_1, h_2, h_3) = (1, 3, 3, 1)——就在這裡，迴文的：h_0 = h_3 且 h_1 = h_2。
- 對照 Euler：h_0 = 1，而 f 的交錯和如前一致——Dehn-Sommerville 把 Euler 作為它的 h_0 = h_d 那一條含納其中。
多胞形最多能有幾個面？上界定理
Dehn-Sommerville 說的是哪些 f-向量對單純多胞形而言在算術上根本可能；下一個問題是它們能長到多大。固定 d 與頂點數 n。在 n 個頂點上的單純 d 維多胞形中，哪一個有最多小面？答案是迴圈多胞形（cyclic polytope） C(n, d)：它是矩量曲線 t -> (t, t^2, ..., t^d) 上 n 個點的凸包。迴圈多胞形是「鄰接的（neighborly）」：任意不超過 d/2 個頂點的子集都構成一個面，這已是可能的極大值，而正是這種極大性把小面數推到頂。
上界定理由 Motzkin 猜測、McMullen 於 1970 年證明，它說迴圈多胞形就是冠軍：在所有具 n 個頂點的單純 d 維多胞形中，C(n, d) 同時把每個 k 的 f_k 都最大化。上界定理並非一則奇談——它是幾何演算法最壞情況分析中那道緊束的約束。當你去界定 R^d 中凸包或 Voronoi 計算的執行時間時，它所提供的面數上限（約 n^(d/2)）正是會冒出來的那一項。
對於這裡何者已知、何者未知，要誠實以待。上界定理（天花板）有個搭檔——下界定理（地板，Barnette），它們連同 Dehn-Sommerville 一起被收進著名的 Billera-Lee 與 Stanley 的 g-定理，該定理完整刻畫了究竟哪些整數向量能作為單純多胞形的 f-向量出現。那是一個真正深刻的結果——Stanley 那一半用的是某個複曲簇上的硬 Lefschetz 定理，而非初等組合學。一般（非單純）高維多胞形的相應完整分類則遠未完成，提醒我們「去數面」通往的是活的研究，而非一本闔上的書。