一個念頭，三個定理：拿去與模型比較
前四篇建好了你如今擁有的每一件工具：第一篇給了完備性與霍普夫-里諾，第二篇給了度量測地線散開程度的雅可比場與共軛點，第三篇給了正曲率的定理（博內-邁爾斯、辛格），第四篇給了非正曲率那一側（卡坦-阿達瑪）。那每一個結論暗地裡都是同一招：在你的流形 M 上取一個量，在曲率為 kappa 的常值曲率空間形式——圓球、平直空間或雙曲空間——上取對應的量，再證出兩者之間的一條不等式。本篇這最後一篇，讓比較本身當主角。
為何常值曲率的模型恰是正確的量尺，並非偶然。在空間形式上一切都能寫成閉形式：測地線、距離、雅可比場的散開、三角形的面積。所以只要你能把 M 的截面曲率 K 夾在兩個常數 K_lower 與 K_upper 之間，你就能把 M 那真正未知的幾何，夾在兩個已知的模型幾何之間。本篇的兩個定理正是在兩個尺度上做這件事。勞赫比較在無窮小尺度上運作，掌控單一條測地線上一個雅可比場成長得多快。托波諾戈夫比較在整體尺度上運作，掌控整個測地三角形的形狀。
勞赫：兩個雅可比場的賽跑
回想第二篇：沿測地線 gamma 的一個雅可比場 J，度量的是 gamma 與一條無窮小鄰近的測地線之間的分離；它滿足 J'' + R(J, gamma') gamma' = 0，其中撇號是沿 gamma 的協變微分。曲率項就是全部的關鍵：大的正截面曲率像一股回復力，把鄰近的測地線拉回一起，而負曲率則像一根反向彈簧，把它們推開。勞赫定理把這條微分方程化為一條乾淨的不等式，做法是把 |J(t)| 的大小，拿去與空間形式上模型雅可比場的大小比較。
這裡是它最有用的陳述形式。設 M 上的 gamma 與曲率為 kappa 的空間形式上的模型測地線 gamma_kappa 都從同一點出發，並設 J、J_kappa 是在 t = 0 處為零、且 |J'(0)| = |J_kappa'(0)| 的雅可比場。若 M 沿 gamma 的每一個截面曲率都至多為 kappa（即 M 比模型彎得更少），則 |J(t)| 至少為 |J_kappa(t)|——M 上的雅可比場成長得更快，因為較弱的聚焦讓測地線更自由地散開。把曲率不等式反過來，結論也跟著反過來。其證明是你在第二篇遇過的指標形式的一個巧妙應用：用指標形式不等式去比較 J 與 J_kappa 的能量。
一個算過的驗算讓勞赫豁然開朗。在單位球面（kappa = 1）上，在 0 處為零的模型雅可比場是 J_1(t) = sin(t)，它在 t = pi 處回到零——這正是何以對徑點在距離 pi 處共軛。在平直空間（kappa = 0）上模型場是 J_0(t) = t，永不回返。所以若你的流形處處 K 至多為 1，勞赫便說它的雅可比場至少和 sin(t) 一樣快地成長，故其沿任何測地線的第一個共軛點，距離至少為 pi。這一個子句正是球面定理的引擎，也是博內-邁爾斯的一道後門證明：曲率的下界迫使共軛點在某固定距離內出現，從而給直徑封了頂。
托波諾戈夫：胖三角形與瘦三角形
勞赫是無窮小的——它活在單一條測地線上。托波諾戈夫是它在整體、有限尺度上的夥伴，講的是三角形的語言。在 M 中取三個點，用極小測地線連起來，構成一個邊長為 a、b、c、其中兩邊夾角為 alpha 的測地三角形。現在在曲率為 kappa 的模型空間形式裡造一個比較三角形：一個邊長完全相同的三角形，並讀出它對應的角 alpha_kappa。托波諾戈夫拿 alpha 與 alpha_kappa 相比較。
結論是一條帶有難忘圖像的不等式。若 M 的每一個截面曲率都至少為 kappa（一個下界，這個假設即使在 M 只是個無光滑性的亞歷山德羅夫空間時也依然成立），則你那真實三角形的角，至少和模型的角一樣大：alpha 至少為 alpha_kappa。換句話說：曲率的下界讓三角形比模型更胖。對偶的鉸鏈版本比較的是第三邊：固定兩邊與其夾角，則 M 中的對邊不會比模型中的更長。胖三角形、短對邊——這就是全部內容，它推廣了你在平面三角學裡熟知的餘弦定律。
curvature LOWER bound K >= kappa ==> triangles are FAT
real angle alpha >= model angle alpha_kappa
real third side <= model third side (hinge form)
curvature UPPER bound K <= kappa ==> triangles are THIN
real angle alpha <= model angle alpha_kappa (CAT(kappa))
flat model (kappa = 0): alpha_0 from the ordinary law of cosines
c^2 = a^2 + b^2 - 2 a b cos(alpha_0)
Rauch = this same comparison, shrunk to one geodesic
|J(t)| vs |J_kappa(t)| = (1/sqrt k) sin(sqrt(k) t)球面定理：夾擠迫出一個球面
現在來談回報。球面定理是這門學問的王冠寶石之一，而勞赫造好了牢籠。其陳述（拓樸版本，伯格-克林根伯格，一九六〇年代）：若 M 是完備且單連通的流形，其截面曲率被夾擠在半開區間 1/4 < K 至多為 1 之內，則 M 同胚於球面 S^n。這些數字是尖銳的，而這個區間就是全部的內容——把你的曲率繞著一個常數夾得夠緊，流形便別無選擇，只能是一個拓樸球面。
為何是 1/4，勞赫又如何登場？上界 K 至多為 1 讓勞赫保證在距離 pi 之前沒有共軛點，故測地線在很長一段距離內持續極小化。下界 K > 1/4 則透過克林根伯格的估計，掌控單射半徑——割跡不可能比 pi 更近。這兩個距離合力把幾何困得如此之緊，以致圍繞兩個類對徑點的兩個度量球便覆蓋了 M，而一個球就是一個圓盤；把兩個圓盤沿其邊界球面黏起來，恰好給出 S^n。那個 1/4 是被一個如假包換的例子逼出來的：複射影空間 CP^n 帶有一個被夾在 [1/4, 1]（閉區間）內的度量，而它們並不是球面，故那道嚴格不等式無法放寬。
分裂定理：一條劈開流形的直線
本級最後一個偉大定理，把比較的哲學轉向了另一個方向。奇格-格羅莫爾分裂定理問道：若 M 有非負的里奇曲率，又包含一條直線——一條測地線 gamma: R -> M，它在自身任意兩點之間都極小化距離，一路向兩端延伸至無窮——會怎樣？這樣一條直線是個很強的要求；在球面上沒有測地線能在距離 pi 之外保持極小化，故球面沒有直線。該定理說：若一個非負里奇的完備流形確實包含一條直線，則它分裂成度量乘積 M = R x N，其中 R 是這條直線的方向，N 是一個低一維、同樣具非負里奇的完備流形。
其機制優美，值得勾勒，因為它把整級串了起來。對直線的每一端，造一個布澤曼函數 b，它是沿直線方向「到一個遙遠點的距離」的重整化極限；它度量你「沿直線方向走了多遠」。非負里奇透過畢曉普-格羅莫夫所提供的拉普拉斯比較，讓每個布澤曼函數為上調和；而直線是雙側的這件事，讓兩個布澤曼函數之和為下調和。一個既上調和又下調和的函數就是調和的，極大值原理迫使它為線性，而一個梯度是平行單位場的全域線性函數，恰恰就是一個可剝離的平直 R 方向。那個平行的分裂，就是乘積結構。
要謹慎地陳述假設，因為它正是那種容易被丟掉的假設。分裂定理需要的是非負的里奇，而非非負的截面——奇格與格羅莫爾的成就，恰恰是把要求從截面版本（更早由托波諾戈夫證明）降到里奇版本。而且它需要一條如假包換的直線，而不只是一條射線：拋物面有奔向無窮的射線，卻沒有雙側的直線，而它確實不分裂。當假設確實成立時，後果是僵硬且整體的——單單一條無窮的極小化測地線，加上一個曲率的符號，就決定了整個空間的拓樸。這正是本級比較哲學最戲劇性的一面：局部的曲率，透過一條測地線讀出，便決定了一切。