從曲率走向一張不變量目錄
第四篇交給你一台機器。餵它一個曲率形式 Omega——一個李代數值的 2-形式，度量一個聯絡偏離平坦的程度——再餵它一個不變多項式 P，陳-韋伊理論便吐出一個閉的微分形式 P(Omega)，其德拉姆上同調類不依賴於你選了哪個聯絡。最後那一句正是整個奇蹟所在：曲率是一個局部的、依賴聯絡的量，然而它的某些對稱函數積出來卻是一個「拓樸」的答案。這最後一篇不再讚嘆機器，而開始把它造出的東西編成目錄——那些命名了的示性類，組織起整個學科。
何必為它們命名？因為示性類是一個有著你能辨認之面孔的「障礙」。它是函子地附著於每個 M 上的向量叢（或主叢）E 的一個上同調類，恰當某種結構存在時消沒、不存在時拒絕消沒。這個叢是平凡的嗎——一個沒有扭曲的純粹乘積 M x R^k？那麼它所有的示性類都為零。找到一個不為零的，你就用一個積分證明了：不可能存在任何整體的平凡化。底下三族——陳、龐特里亞金、歐拉——就是標準目錄，每一族都為不同種類的叢調好了音。
三族：陳、龐特里亞金、歐拉
從最乾淨的開始。對一個複向量叢 E，餵給陳-韋伊 (i/2 pi) Omega 之特徵值的初等對稱多項式；輸出便是陳類 c_1(E), c_2(E), ...，住在偶數次上同調 H^2(M)、H^4(M) 等等之中。用 i/2 pi 歸一化，正是把結果逼進「整數」上同調的關鍵，而這就是深刻的報酬：一個由實解析曲率造出的量，竟落在整數格點上。對一個複線叢（秩 1）只有 c_1 存活，而它就是把該線叢分類至同構的那單一個整數——就是你曾以全純線叢次數身分見過的那個 c_1。
現在來看實的情形。一個實向量叢沒有可插入的典範 i，因此曲率的奇對稱函數因對稱性而死去，只有偶的存活。這些給出龐特里亞金類 p_1(E), p_2(E), ...，住在 H^4(M)、H^8(M)、... 之中。誠實的捷徑是：把實叢複化為 E ⊗ C，再從它的陳類讀出 p_k，即 p_k(E) = (-1)^k c_{2k}(E ⊗ C)。在一個光滑流形上，把它施於切叢 TM 便得到龐特里亞金數——一種剛硬到、配上阿蒂亞-辛格指標定理之後，能偵測奇異光滑結構的微分同胚不變量。
最後是歐拉類 e(E)，三者中最精微的一個。它只對「偶數」秩的可定向實叢有定義，且不同於其他兩者，它住在最高次上同調 H^{秩}(M) 中，又不是低階類的多項式——它是一個貨真價實的平方根。陳-韋伊由曲率的普法夫式來建造它，那是只對反對稱矩陣才有的、行列式的自然平方根。它的意涵最富畫面感：e(E) 是「處處非零截面」的障礙。對一個閉可定向曲面的切叢，把 e(TM) 積分回傳任一向量場零點的帶號計數——歐拉示性數——這正是為何毛球無法被梳平、而環面卻可以。
分裂原理：假裝一切都是線
直接用對稱多項式計算是苦差事。分裂原理正是那個讓示性類幾乎變成算術的訣竅。它說：要驗證一個秩 k 的叢 E 諸示性類之間的恆等式，你可以「假裝」E 分裂為線叢的直和 L_1 ⊕ ... ⊕ L_k。你並不能真的讓 E 分裂——多數叢都不行——但你能把 E 拉回到一個新的底空間（E 的旗叢）上，那裡拉回後的叢真的分裂，且關鍵在於：底空間的上同調嵌入到上層的上同調中。於是任何在上層（那裡一切皆為線）成立的恆等式，在下層便已然成立。
報酬一步到位。若 E 分裂為若干線之和，其第一陳類為 x_1, ..., x_k（即陳根），則總陳類就單純是乘積 c(E) = (1 + x_1)(1 + x_2) ... (1 + x_k)。把它乘開，第 j 次部分就是諸根的第 j 個初等對稱多項式——恰是 c_j(E)。每個雜亂的陳-韋伊多項式都坍縮成諸根的初等代數。同一個想法給出陳特徵標 ch(E) = sum of e^{x_i}，那是一個在直和上加性、在張量積上乘性的類，於是把整張目錄變成一個到上同調的環同態。
splitting principle: pretend E = L_1 (+) ... (+) L_k, x_i := c_1(L_i) (Chern roots)
total Chern class: c(E) = (1 + x_1)(1 + x_2) ... (1 + x_k) = 1 + c_1 + c_2 + ... + c_k
c_1 = x_1 + ... + x_k (elementary symmetric poly degree 1)
c_k = x_1 x_2 ... x_k (elementary symmetric poly degree k)
Chern character: ch(E) = e^{x_1} + ... + e^{x_k} = rank + c_1 + (1/2)(c_1^2 - 2 c_2) + ...
ch(E (+) F) = ch(E) + ch(F) ch(E (x) F) = ch(E) . ch(F)
Whitney sum: c(E (+) F) = c(E) . c(F) (multiply total classes)這些類如何運作：函子性與惠特尼和
兩條結構性的定律讓示性類好用。第一條是自然性：若 f: M -> N 光滑，而你沿 f 拉回一個叢，它的示性類也隨之拉回，c(f* E) = f* c(E)。這正是讓你在一個模型空間上計算、再把答案搬運回來的依據。第二條是惠特尼和公式：直和的總陳類是乘積，c(E ⊕ F) = c(E) . c(F)。分裂原理使它顯而易見——把兩張陳根清單接起來，再把兩個乘積相乘。龐特里亞金類與斯蒂費爾-惠特尼類也服從同一條乘性律（連同慣常的 2-撓元注意事項）。
自然性有一個值得知道的逆命題：每個示性類都是從一個普遍範例拉回來的。存在一個分類空間 BU(k)——具體說就是 k-平面的無窮格拉斯曼流形——攜帶一個普遍叢，使得 M 上每個秩 k 的叢都是某映射 f: M -> BU(k) 對普遍叢的拉回 f*，且 f 在同倫意義下唯一。BU(k) 的上同調是普遍陳類上的一個多項式環。所以示性類並非許多各自獨立的發明；它們是單一個分類空間的單一上同調，透過分類映射讀回。這正是這張目錄為何有限且完備的最乾淨理由。
規範理論：同一份曲率，另一個名字
在這裡，你建起的幾何幾乎逐字變成物理。在規範理論中，一個規範場恰是結構群為 G（即規範群——電磁學取 U(1)，弱與強作用力取 SU(2) 與 SU(3)）的主叢 P 上的一個聯絡。場強恰是曲率 2-形式 Omega。一個規範變換是平凡化的更換，亦即 P 的一個垂直自同構；聯絡形式按熟悉的非齊次規則改變，而曲率則按共軛變換——是協變的。馬克士威方程組正是說 U(1) 曲率閉且餘閉；其中無源的那一半 dF = 0，無非就是第三篇的畢安基恆等式。
什麼挑出一個物理的聯絡？它應讓曲率盡可能地小。楊-米爾斯泛函 YM(A) = integral over M of |Omega|^2 量度總平方場強，其臨界點即楊-米爾斯聯絡，滿足那條與畢安基恆等式配對的二階方程。它們在一個拓樸類內的絕對極小值即瞬子：自對偶聯絡 Omega = *Omega，因為能量由叢的某個示性數（一個陳數或龐特里亞金數）從下界住，它們便自動極小化能量。本篇前半的那些類，恰恰就是物理無法改變的拓樸荷。
這個迴圈以驚人的力道閉合回幾何。數四維流形上的瞬子解給了唐納森他的不變量，後來由塞伯格-威滕理論精簡，而這些規範理論的計數能區分一切古典工具都判為相同的光滑結構——正是奇異 R^4之類現象的源頭。不過要對層次誠實：嚴格地架設這些模空間、並證明背後的指標與緊緻性定理，是一門研究所課程與一片研究文獻，不是一篇導覽。我們只是指出這條路通向何方，並展示那些里程碑正是你方才學會計算的示性類。
把這一級拼合起來
從頭到尾追一遍這一級。第一篇用轉移函數把一個叢從局部片拼起來；第二篇加上一個聯絡，讓你能協變地微分截面；第三篇把聯絡不可交換的程度度量為曲率與和樂，由畢安基恆等式統御；第四篇讓曲率通過不變多項式，藉陳-韋伊理論製造閉形式；而第五篇為所得的類命名、用分裂原理計算它們，並看著整個結構以規範理論的身分重新現身。一個局部的概念（曲率）變成一個整體的不變量（一個類）變成一個物理的荷——同一個想法穿著三件外套。
兩段誠實的結語。先談範圍：我們刻意以環面與 S^2、線叢、SU(2) 領路，因為一個被理解的範例勝過一條你無法想像的最廣定理；K 理論、博特週期性與阿蒂亞-辛格指標定理的完整理論深化了這一切，是它自己一段漫長的攀登。再談謙遜：示性類偵測障礙，但一般而言並不單憑自身就分類叢；K 理論是與尋常上同調不同、而非「更好」的不變量；而這裡最難的問題——其中包括光滑四維龐加萊猜想——仍然懸而未決。帶著精確的假設、而非口號，登上下一級。