曲率：移動繞圈合不攏的失敗
從第二篇你已經會協變地微分截面，並沿著路徑平行移動它們。催生曲率的問題是這樣的：若你把一個向量沿一個小的閉迴圈帶一圈再回到出發點，得到的會是同一個向量嗎？在平坦的平面上，是——移動與路徑無關，每個迴圈都讓你原封不動地回來。在彎曲的曲面上，不是：把一個切向量繞一個球面三角形帶一圈，它回來時轉了一個角。曲率正是這份轉動相對於所圍面積的無窮小量度。
把它代數化。協變導數給出每個方向 X 的算子 nabla_X。在平面上這些算子彼此交換；在彎曲的叢上則不交換，而那份偏差就是曲率算子。對向量叢上的聯絡，我們定義 R(X, Y) = nabla_X nabla_Y - nabla_Y nabla_X - nabla_[X, Y]，作用在截面上。前兩項是「先沿 X 再沿 Y」相對於「先 Y 再 X」——繞無窮小平行四邊形的兩條路——而那個括號項 [X, Y] 則減去偏差中純粹來自方向本身不交換的那一部分，留下真正屬於幾何的扭曲。
曲率 2 形式：dA + A wedge A
在第二篇裡，聯絡在局部由一個聯絡 1 形式 A 編碼——一個取值於矩陣（更精確地說，取值於李代數）的 1 形式，記錄了選定標架中類似克氏符號的係數。曲率 2 形式 F 於是由乾淨的結構方程 F = dA + A ^ A 給出。第一項 dA 是樸素的「聯絡如何變化」那一塊；楔形項 A ^ A 則是非線性修正，它之所以出現，正因為矩陣不交換。這裡楔積的反對稱性殺不掉 A ^ A——對取值於矩陣的形式，楔積把一個矩陣乘法交織進來，而那個乘積是不可交換的。
為什麼 F 是 2 形式而不是 1 形式？因為曲率生於迴圈，而最小的迴圈是由兩個方向張成的平行四邊形——你必須餵它兩個切向量 X 與 Y，它回給你無窮小的移動偏差 F(X, Y)，那是纖維的一個自同態。對結構群為 G 的主叢，A 與 F 都取值於 G 的李代數，而同一條公式 F = dA + (1/2)[A, A] 成立，只是把矩陣換位子換成李括號。一條方程，兩種讀法：向量叢讀作矩陣乘積，主叢讀作李括號。
vector bundle: F = dA + A ^ A (A, F are matrix-valued forms; ^ includes matrix product) principal bundle: F = dA + (1/2)[A, A] (A, F valued in Lie(G); bracket = Lie bracket) link to the operator: F(X, Y) s = R(X, Y) s = (nabla_X nabla_Y - nabla_Y nabla_X - nabla_[X,Y]) s flat connection <=> F = 0 <=> transport is path-independent locally
和樂：每個迴圈的整體記憶
曲率是局部的——它是無窮小迴圈所見之物。和樂是它的整體對應：固定一點 p，對每個以 p 為基點的迴圈，繞一圈平行移動。結果是 p 上纖維到自身的一個線性映射，是結構群 G 的一個元素。讓迴圈跑遍 p 處所有的迴圈，這些映射構成 G 的一個子群，稱為和樂群。它是聯絡如何扭曲的完整紀錄，對各種大小的迴圈積分而得——正是曲率只在無窮小尺度上知道的那件事。
連接兩者的橋樑是安布羅斯-辛格定理：和樂群的李代數，由所有曲率值 F(X, Y) 移動到基點後張成。用白話讀——和樂是累積起來的曲率，曲率是微分開來的和樂。在單連通的底空間上，平坦聯絡（F = 0）有平凡的和樂：每個迴圈都圍出一個圓盤，你可以無偏差地把移動掃過去。但在基本群非平凡的底空間上，平坦聯絡仍可能有非平凡的和樂，純粹來自那些縮不掉的迴圈——那一部分是拓樸的，而非由曲率驅動。
- 挑一個基點 p 與其上的纖維；你要追蹤一個標架繞一圈後跑到哪裡。
- 對選定的、以 p 為基點的迴圈 gamma，沿 gamma 解平行移動方程——這是個常微分方程，故一旦給定聯絡，移動便存在且唯一。
- 記下所得的纖維自同態；讓 gamma 跑遍所有迴圈，便得到一組對複合與取逆封閉的自同態——即和樂群。
- 依安布羅斯-辛格定理，該群的無窮小生成元，恰好是被帶回 p 的曲率值 F(X, Y)，這便封住了曲率與和樂的對應。
比安基恆等式：曲率從不自由
曲率不能是你隨便挑的任一個 2 形式；它服從一條普適的微分約束，即第二比安基恆等式。最乾淨的形式寫作 dF + [A, F] = 0，通常縮寫為協變外導數 D_A F = 0。用白話：曲率是協變閉的。其證明是結構方程的一行奇蹟——對 F = dA + A ^ A 微分，用外微分的 d^2 = 0，看著交叉項恰好重組為 -[A, F]。除了「有一個聯絡」之外不需假設任何幾何；這條恆等式是自動成立的。
為什麼要在意一條自動成立的約束？因為它是後兩篇的引擎。比安基恆等式正是讓陳-韋伊構造行得通的關鍵：當你把 F 餵進一個不變多項式以造出一個示性形式時，D_A F = 0 正是所得形式為閉、從而定義一個德拉姆上同調類的理由。把比安基恆等式拿掉，示性類根本就沒有定義良好可言。它也是規範理論中守恆律的幾何源頭——齊次的馬克士威方程，字面上就是電磁聯絡的比安基恆等式。
一個小小的具體圖像與一張誠實的前路地圖
把一切定錨在帶列維-奇維塔聯絡的圓 2 維球面上。沿一個內角和為 (pi + 盈餘) 的測地三角形平行移動一個切向量；該向量回來時恰好轉了那個角盈餘。這是你能徒手看見的和樂，而高斯-博內的機器告訴你，這盈餘等於高斯曲率在所圍區域上的積分——和樂 = 積分起來的曲率，徹底具體化。把同一陳述縮成一點的無窮小版本，就是曲率 2 形式 F；沿閉迴圈求和的整體版本，就是和樂。同一個現象，兩種縮放尺度。
誠實地交代我們證了什麼、沒證什麼。我們定義了曲率，把它與結構方程的 2 形式等同起來，勾勒（而非完整證明）了安布羅斯-辛格定理，並給了第二比安基恆等式的一行證明。我們沒有分類和樂群——那是伯格定理，一個有自身清單的深刻分類（像 G2 與 Spin(7) 和樂這些例外情形，是貨真價實的研究領域）。而這裡每一個正負號都依賴約定：有些書寫 F = dA - A ^ A，或把那個 1/2 放在別處，或把迴圈反向定向。挑一個來源，固定住它的約定，換書時小心翻譯。
手握曲率、和樂與比安基，前方的路又短又陡。第四篇把 F 餵進不變多項式——即陳-韋伊同態——以製造一些閉形式，其上同調類完全不依賴聯絡，從而把一個幾何量轉成拓樸不變量。第五篇替所得的類命名（陳類、龐特里亞金類、歐拉類）並把它們連到規範理論。下游的一切，都建立在你如今擁有的兩個事實上：曲率是 dA + A ^ A，而且它協變閉。