問題所在：彼此無法交談的纖維
在上一篇你藉由轉移函數把平凡塊 U x R^k 黏合起來，造出了一個向量叢 E -> M，並認識了它的主版本——帶有作用在纖維上之結構群 G 的主叢 P -> M。現在問一個貌似簡單的問題：給定 E 的一個截面 s——在每一點 p in M 上的纖維 E_p 中平滑變化地選取一個向量 s(p)——你要如何對它求導？你想知道當你從 p 沿方向 X 移動時 s 如何變化。但 s(p) 住在 E_p 裡，而 s(p + epsilon X) 住在另一個纖維 E_{p+epsilon X} 裡，並且沒有任何內建的方式能把一個纖維中的向量減去另一個纖維中的向量。
在平坦的 R^n 上這個問題藏了起來，因為每個切空間在典範意義下都是同一個 R^n，所以「q 處的向量減去 p 處的向量」就只是尋常的減法。那個典範的等同是平坦性的特權，而那正是一般的叢所欠缺的。天真的做法——選一個局部平凡化、把 s 寫成一列函數、逐分量求導——確實生出一個數，但那是無用的數：換一個平凡化（黏合圖卡）答案就變，因為導數會沾上一項，來自標架自身的扭轉。一個真正的導數絕不能依賴圖卡。供給這個缺失的「比較鄰近纖維」之規則，就是聯絡的全部工作。
聯絡究竟是什麼：切空間的劈分
這裡是最乾淨的幾何圖像，在一個纖維叢的全空間上看得最清楚。站在全空間 E 中的一點，看它在那裡的切空間。有些切方向沿纖維指——停留在同一個底點 p 之上；這些構成垂直子空間，它們是典範的，因為投影 E -> M 恰好把它們殺掉。所缺的是一種「水平地」移動的概念——橫越到鄰近的纖維，而不沿纖維上下漂移。一個聯絡正是在每一點、平滑變化地選取一個互補的水平子空間，使切空間劈分成垂直加水平。
那單一個選擇就完成了一切工作。因為投影把每個水平子空間同構地等同於底空間的切空間 T_p M，所以樓下一個切方向 X 唯一地提升成樓上一個水平向量——它的水平提升。沿著那個提升走，你就以聯絡所認定為「直」的唯一方式橫越纖維。這種劈分毫無被迫之處：一個單純的叢容許許多不同的水平分佈，而選定其一確確實實是在添加結構，正如選一個黎曼度量替一個裸流形添加結構一般。兩個誠實的人可以在同一個叢上放上不同的聯絡，而兩人都沒有錯。
共變導數與它誠實的公式
在向量叢上，聯絡以一個算子的形式重現，這算子終於讓你能對截面求導。共變導數 nabla 吃進 M 上一個切方向 X 與 E 的一個截面 s，回傳另一個截面 nabla_X s，即 s 沿 X 的變化率，依聯絡所認定的「保持水平」來度量。它對 X 是 R-線性且張量性的——nabla_{fX} s = f nabla_X s——但對 s 則服從萊布尼茲律，帶有係數的尋常導數：nabla_X (f s) = (X f) s + f nabla_X s。那個萊布尼茲項正是使 nabla 成為導數而非張量的關鍵，而它與你在切叢上見過的列維－奇維塔聯絡形狀相同。
要計算，固定一個局部標架：光滑截面 e_1, ..., e_k，它們在某開集 U 上構成每個纖維的一組基。聯絡完全由它對標架的作用釘死，而 nabla e_j 必須仍是個截面，所以展開成 nabla e_j = sum over i of omega^i_j tensor e_i，其中 omega^i_j 是 U 上尋常的 1-形式。這個 1-形式矩陣 omega = (omega^i_j) 就是聯絡矩陣（聯絡形式的局部臉孔）。現在把任意截面寫成 s = sum of s^i e_i；萊布尼茲律完成其餘。
Local frame e_1,...,e_k on U, connection matrix of 1-forms omega^i_j
nabla e_j = sum_i omega^i_j (.) e_i (defines the connection on U)
For a section s = sum_j s^j e_j and direction X:
nabla_X s = sum_i ( X(s^i) + sum_j omega^i_j(X) s^j ) e_i
\_______/ \___________________/
ordinary correction term
derivative from the connection
For the tangent bundle with a frame e_j = d/dx^j :
omega^i_j = Gamma^i_{jk} dx^k (Christoffel symbols are the components)公式讓兩個提醒變得誠實。其一，omega 不是張量：在以矩陣值函數作標架變換之下，它以一個非齊次項變換，而那一項恰好抵消了天真導數對圖卡的依賴，使得 nabla_X s 本身是個良好定義的截面。其二，指標位置與符號的慣例在不同書之間天差地遠——有人把修正項寫成負號、有人把標架指標放上面、有人對 dx^k 的打包方式不同。固定一個慣例、把它說明，並預期其他來源會與你不一致，正如先前對曲率符號的提醒。
平行移動：搬運一個向量而不轉動它
共變導數立刻回答了最初的問題——如何把一個向量從一個纖維移到另一個。一個截面 s 沿曲線 gamma(t) 平行，若它沿曲線方向的共變導數消失：在每個 t 處 nabla_{gamma'(t)} s = 0。這是叢對「不變化」的誠實版本。給定起始向量 v 落在 gamma(0) 之上的纖維中，方程 nabla_{gamma'} s = 0 是沿曲線的一階線性常微分方程，所以由存在唯一性，它恰有一個滿足 s(0) = v 的解。把 v 搬到 s(1)，就是沿 gamma 的平行移動。
平行移動就是從下方所見的水平提升：那個平行截面恰是 E 中速度永遠水平、絕不沿纖維漂移的曲線。它給出從 gamma(0) 之上的纖維到 gamma(1) 之上的纖維的一個線性同構，正是久求的比較遠方纖維之道——但帶著一個關鍵的誠實：這個同構依賴路徑，而非僅依賴端點。把同一個向量沿同兩點之間的兩條不同曲線移動，你可能落在兩個不同的向量上。那種路徑依賴並非缺陷；它是曲率的種子，也是下一篇的主題。
球面上一個算過的移動
讓我們用最簡單的迴圈把圖像具體化。取半徑為 1 的 S^2。從北極出發，但為了讓向量看得見就在它附近做事；換言之，跑標準的赤道—經線三角形：從北極 N 沿經度 0 的經線下到赤道，沿赤道走四分之一圈到經度 90 度，再沿經線回到 N。這三段弧都是測地線，所以沿每段弧而言，「平行」意味著「與行進方向保持固定的夾角」。
- 在 N 處以一個沿經度 0 經線方向（你即將行進的方向）指的向量 v 出發。沿一條測地線往下，平行移動使 v 保持與那條經線相切，所以到赤道時 v 仍指向正南。
- 現在轉身沿赤道向東走。在轉角處 v 與赤道成 90 度角，而沿這條測地線那個夾角被保持，所以整整四分之一弧 v 都保持指向正南——它不會擺動去跟隨你。
- 在經度 90 處轉北，沿經線爬回 N。被移動的向量仍指向南，此刻沿這第二條經線躺著，而沿測地線往上的平行移動使它維持如此。它到達 N 時指向經度 90 經線往下的方向。
- 比較起點與終點：經度 0 的經線與經度 90 的經線在 N 處成 90 度角相交，所以回來的向量恰好旋轉了 90 度——pi/2 弧度——偏離它的出發方向。
這個三角形圍出球面的八分之一，面積為 (1/8)(4 pi) = pi/2，而在單位球面上和樂旋轉角等於所圍面積：pi/2，與我們方才親手追蹤的吻合。注意是什麼在做工：我們在任何一瞬都沒有「轉動」這個向量——每一段都是沿測地線忠實的平行移動——然而往返卻產生了一個真實的旋轉。這是最乾淨不過的示範：彎曲叢上的聯絡並無與路徑無關的纖維比較方式；而它恰好為下一篇鋪好路——在那裡這個迴圈落差的無窮小版本就成了曲率。
這為接下來解鎖了什麼
你現在擁有了那個缺失的結構：一個聯絡，以它三張臉中的任一張呈現——全空間上的水平劈分、主叢上的聯絡形式，或向量叢上帶著聯絡矩陣的共變導數。從它你能對截面求導、沿曲線搬運向量、並決定「平行」是什麼意思。唯一尚未解釋的現象是移動的路徑依賴——繞迴圈一圈未必把你帶回出發之處這個事實。
下一篇把那個迴圈落差化為一個張量。量度繞無窮小平行四邊形移動的失準，給出曲率，即聯絡無法局部平坦的障礙；它的整體積分就是你方才在球面上見到的和樂。我們將把曲率寫成聯絡形式自身的導數加上它自我括號的修正，遇見它自動滿足的比安基恆等式，從而為陳—外爾理論搭好舞台——在那裡這些曲率 2-形式被餵進不變多項式，製造出收束本級的特徵類。