局部是乘積，整體或許扭轉
本級的一切都從一張圖長出來，所以讓我們慢慢地畫。一個纖維叢是一個光滑滿射 pi: E -> M，其中 E 是全空間，M 是底空間（一個你早在前幾級就已掌握的光滑流形），而關鍵在於一個局部條件：M 的每一點都有一個開鄰域 U，使得坐在 U 上方的那塊 pi^(-1)(U) 看起來恰恰像枯燥的乘積 U x F，這裡 F 是一個固定的流形，稱為纖維。單一點 p 上方的集合 pi^(-1)(p) 便是 F 的一份拷貝，即 p 上的纖維。所以局部上，叢不過就是個乘積；整門學科的全部內容，就在於這些局部乘積能否誠實地黏成一個整體乘積——或者它們拒絕如此。
這個局部辨認有個名字：一個局部平凡化是一個保纖維的微分同胚 phi: pi^(-1)(U) -> U x F，所謂保纖維是指它把 p 上方的纖維送進 {p} x F——它不會打亂你坐在 M 的哪一點上方，只在每根纖維內部選定座標。一個在整個 M 上都容許單一整體平凡化的叢，稱為平凡叢：它真的就是 M x F，什麼有趣的事都不發生。圓 S^1 上方的圓柱 S^1 x R 是平凡的。而莫比烏斯帶——同樣是圓上方類似線叢的東西——是局部為乘積、整體卻不是的最小範例，這道縫隙正是整套理論的種子。
轉移函數：把所有扭轉一筆寫下
這裡是核心的一步，值得徹底放慢。用一族開集 U_i 覆蓋 M，每個 U_i 都帶有一個局部平凡化 phi_i: pi^(-1)(U_i) -> U_i x F。在交集 U_i cap U_j 上，你對同一批纖維有兩把不同的尺，phi_i 與 phi_j，所以拿來比較：複合 phi_i 接在 phi_j^(-1) 之後，是 (U_i cap U_j) x F 的一個自映射，它固定底點而只重新賦予纖維座標。因此它具有形式 (p, v) -> (p, g_ij(p) . v)，其中對每個 p，映射 g_ij(p) 都是纖維 F 的一個對稱。這些 g_ij 就是轉移函數，而它們就是全部的故事：它們逐點記錄了第 i 與第 j 個局部圖景對纖維的看法到底差了多少。
轉移函數並非自由——它們必須彼此相容，而這份相容性正是一條漂亮的方程。在三重交集 U_i cap U_j cap U_k 上，從圖景 k 走到 j、再從 j 走到 i，必須等於直接從 k 走到 i。用符號寫，對三重交集中的每個 p 都有 g_ij(p) g_jk(p) = g_ik(p)；這就是上閉鏈條件。把指標取相等，便白白掉出兩個推論：g_ii = 恆等（一個圖景與自己一致）以及 g_ji = g_ij^(-1)（反方向比較會取逆）。這些對稱 g_ij(p) 全都住在同一個群 G 裡，G 就是叢的結構群，它作用在纖維 F 上；對我們在意的叢而言，G 是某個古典矩陣群，例如 GL(n)、O(n) 或 U(n)。
phi_i o phi_j^(-1) : (U_i n U_j) x F -> (U_i n U_j) x F
(p, v) |-> (p, g_ij(p) . v)
cocycle condition (on U_i n U_j n U_k): g_ij g_jk = g_ik
set k = i : g_ij g_ji = g_ii = id => g_ji = (g_ij)^(-1)
set j = i = k : g_ii = id
g_ij : U_i n U_j -> G (structure group, e.g. GL(n,R), O(n), U(n))重建：上閉鏈足以重新造出叢
現在來到讓這套形式主義值回票價的回報：你可以把全空間 E 整個丟掉，只留下覆蓋 {U_i}、纖維 F、作用在 F 上的群 G，以及轉移函數 g_ij——單憑這筆精光的資料，就能唯一地重建 E。配方是一場黏合。取所有局部塊 U_i x F 的無交聯集，並宣布：每當 p 落在交集中，U_j x F 裡的點 (p, v) 就與 U_i x F 裡的點 (p, g_ij(p) . v) 是同一個點。上閉鏈條件恰恰是使這個辨認成為等價關係（它給出遞移性）的條件，於是商空間是個定義良好的流形，它就是 E。叢與覆蓋上的上閉鏈，是同一個對象的兩種呈現。
這在實務上極為解放。要建構或辨認一個叢，你從不需要去想像整個彎曲的全空間；你寫下一個覆蓋與相容的轉移函數，叢便存在。它也釘住了「相同」的正確概念：同一覆蓋上的兩個上閉鏈給出同構的叢，恰當它們相差一個局部平凡化的改變，即 g_ij -> h_i g_ij h_j^(-1)，其中 h_i 是 U_i 上某些取值於 G 的函數。模掉這個等價之後的上閉鏈，恰恰就是以 G 為結構群的叢的同構類——這個事實，在後面某篇推到極致時，便成了以映射到分類空間來分類叢的定理。
向量叢：纖維是向量空間
把纖維特殊化為向量空間，你就得到微分幾何的主力。一個秩為 n 的向量叢，是纖維為 R^n（或 C^n）、且轉移函數取值於一般線性群 GL(n, R) 的纖維叢——所以每個 g_ij(p) 都是纖維上一個可逆的線性換基。相對於一般纖維叢所多出的要求，恰恰是黏合必須逐根纖維地線性，正是這一點使每根纖維 E_p 以不依賴所用平凡化的方式成為如假包換的向量空間。你可以把截面相加、伸縮，而由於 g_ij 是線性的，這些運算在交集上恰好彼此吻合。
你其實一直暗暗認識的範例，就是切叢 TM。它在 p 上的纖維是切空間 T_p M，一個 n 維向量空間，所以 TM 是 M 上一個秩為 n 的向量叢。它的轉移函數從何而來？來自流形自己的圖冊：在兩張座標卡的交集上，切向量依座標變換的雅可比矩陣而變換，而那些雅可比矩陣正是 g_ij，住在 GL(n, R) 裡。所以切叢並非你外加上去的額外結構——它就是你的圖冊一直以來所攜帶的那組雅可比上閉鏈。餘切叢 T*M、所有張量叢與外形式叢，都以同樣方式建造，只是把纖維換成對應的線性代數構造、把 g_ij 換成由它誘導出的矩陣。
主叢：纖維就是群本身
還有一種特殊化，而它對本級結尾的規範理論最為重要。把纖維取成結構群 G 自己，並讓 G 以左乘作用在自己這根纖維上。結果便是一個主 G 叢：一個纖維為 G 之拷貝的纖維叢 P -> M，配備 G 在 P 上一個自由、保纖維的右作用，且在每根纖維上遞移。右作用是關鍵特徵——它讓你能用群元素沿著纖維滑動，但至為要緊的是，纖維裡並沒有一個被偏好的單位元。P 的一根纖維是一個 G 主齊性空間（torsor）：它看起來像 G，卻忘了 e 在哪裡，正如仿射空間看起來像忘了原點的向量空間。
腦中最該擺著的主叢，是一個秩為 n 的向量叢的標架叢。它在 p 上的纖維是纖維 E_p 的所有有序基底（標架）所成的集合——而 GL(n) 經由換基自由且遞移地由右作用在標架上，因為恰好有唯一一個矩陣能把任一標架送到任一標架。標架叢的轉移函數，與原向量叢的 g_ij 一模一樣；改變的只有纖維，從 R^n 變成 GL(n)。這是你必須內化的反覆出現的交換：一個向量叢與它的標架叢攜帶完全相同的上閉鏈資料，是同一個幾何對象的兩張面孔——一張披著向量空間，一張披著群。
伴隨叢字典，以及我們的下一步
標架叢的觀察可推廣成此處最有用的單一組織原則：伴隨叢構造。固定一個主 G 叢 P，餵給它任何一個 G 作用其上的空間 F。則 P x_G F——乘積 P x F 模掉對角關係 (u . g, v) ~ (u, g . v) 後的商——是 M 上一個纖維為 F、轉移函數與 P 相同的纖維叢。重點在於：一個主叢製造出一整族伴隨叢，全都共用它的上閉鏈：餵它 R^n 配上 GL(n) 的定義作用，你便重獲那個向量叢；餵它另一個表示，你便得到張量叢或旋量叢；群 G 是唯一的源頭，而各個表示則是菜單。
- 選定底流形 M 與開覆蓋 {U_i}；選定纖維 F 與作用在 F 上的結構群 G。
- 指定轉移函數 g_ij : U_i cap U_j -> G，使其在每個三重交集上滿足上閉鏈條件 g_ij g_jk = g_ik。
- 用 (p, v) ~ (p, g_ij(p) . v) 把各塊 U_i x F 黏起來，造出全空間 E；上閉鏈條件保證商是相容的。
- 把 G 約化到子群（O(n)、GL(n)^+、U(n)、...），白白添上一個度量、定向或複結構。
最後讓我們誠實交代這篇做了什麼、又沒做什麼。我們搭起了叢理論的靜態骨架——什麼是叢、轉移函數如何編碼它整體的扭轉，以及向量叢、主叢與伴隨叢如何是同一套上閉鏈語言的三種方言。完全還缺席的，是任何沿底空間微分的概念：給定一個截面，至今仍沒有一個典範的方式對它求導，因為比較不同點上方的纖維需要一個選擇。那個選擇就是聯絡，而供應它正是第二篇的全部主題。它的曲率，亦即那個比較不依路徑的失敗，將是第三篇——而從曲率出發，第四、五篇的陳偉理論會讀出拓樸不變量。把上閉鏈的圖景帶在身邊；前方的一切都建立在它之上。