傅立葉：每個訊號都是正弦波的總和

用純正弦波堆出一個方波

把一條正弦波和一條方波遞給某人，它們看起來像不同物種——一個平滑得不可思議，另一個全是稜角與平頂。然而傅立葉的主張是：方波是由正弦波構成的，就像白光由各種顏色構成。取一條與方波同頻率的正弦波（基波），加上一條三倍頻、較小的（第三諧波），再加一條五倍頻、更小的，接著七倍、九倍……一直加下去，那條搖搖晃晃的總和會肉眼可見地硬挺成帶有銳利邊緣的平台。你以為與正弦相反的那些稜角，不過是大量正弦波以恰當的比例疊起來、合謀產生的結果。

Square wave (period T, frequency f0 = 1/T) as a sum of odd harmonics:

  x(t) = (4/π) · [ sin(ω0 t) + (1/3)sin(3ω0 t) + (1/5)sin(5ω0 t)
                                + (1/7)sin(7ω0 t) + ... ]      ω0 = 2π f0

  1 term                 3 terms                many terms
   _                      ___                    _________
  / \         +1   ->    /   \        ->        |         |   <- flat shelf
 /   \                  /     \                  |         |
------------ 0      ---/-------\---           ___|         |___ 0
      \   /              \     /              |         |
       \_/                \___/               |_________|     <- sharp edge

  only ODD harmonics (1,3,5,7...), amplitudes falling off as 1/n

方波是奇次諧波的總和，振幅為 1/n。項數越多 = 稜角越銳利、頂部越平坦。

這就是[[ee-fourier-series|傅立葉級數]]：任何合理的週期訊號，都等於一群正弦波的總和，這些正弦波的頻率是某個基頻 f₀ 的整數倍。每個諧波各有自己的振幅與相位——一份配方，規定每種純音要倒入多少。為什麼只能是整數倍？因為只有那些頻率才能在一個週期內塞進整數個循環、隨訊號一起重複；其他頻率會漂移而破壞週期性。方波的配方剛好只用奇次諧波（源自它的半波對稱），但一般的週期訊號——一個吉他音、引擎振動、心跳波形——會用上其形狀所要求的任何混合比例。

吉布斯漣波：永不消失的過衝

把方波的諧波疊起來，在每個跳變附近會冒出一件頑固的事。就在銳利邊緣處，部分和並不會乾淨俐落地落在平頂上——它會衝過頭，過衝約為跳變高度的 9%，然後一邊放鬆一邊振鈴。加入更多諧波，漣波會變得更窄，更貼近邊緣，卻永遠不會變得更矮：那 9% 的過衝是永久的。這就是吉布斯現象，它不是你數學裡的臭蟲——而是完美平滑的正弦波與完美銳利的不連續之間一種根本的張力。

Gibbs overshoot at a step edge (N = number of harmonics):

        9% overshoot  (independent of N!)
          v
         _∩_______________   ideal level +1
        /                  
       /   ripple gets NARROWER as N grows,
      /    but the peak stays ~9% above the step
  ___/
     |
  ___|________________________ ideal level 0
      \  ∪  <- 9% undershoot below

  N=10  : fat, slow ripple, ~9% peak
  N=100 : thin, fast ripple, still ~9% peak
  N=inf : ripple width -> 0, peak STILL ~9% at the instant of the jump

無論加總多少諧波，吉布斯過衝都釘在跳變高度的約 9%；只有它的寬度會縮小。

從週期到一切：傅立葉轉換

傅立葉級數很美，但它只能處理週期訊號——那些永遠重複的東西。真實生活充滿一次性事件：一聲拍手、一道擊中電力線的閃電、一個資料封包、一次相機閃光。這些是[[ee-signal-classification|非週期]]訊號，要觸及它們的訣竅是一個思想實驗。取一個週期訊號，把它的週期 T 緩緩拉向無限大。隨著週期增長，相鄰諧波之間的間距——它落在基頻間距 f₀ = 1/T 上——朝零收縮。離散的諧波梳子一條一條地填滿，直到化為一條平滑、連續的頻譜。

Stretching the period turns a discrete series into a continuous transform:

  Periodic, T finite              Aperiodic, T -> infinity
  -------------------             ------------------------
  |  |  |  |  |  |  |             |||||||||||||||||||||||
  |  |  |  |  |  |  |    ----->   a smooth filled-in curve
  -------------------             ------------------------
  spacing f0 = 1/T               spacing -> 0  (continuum)
  Fourier SERIES (sum)           Fourier TRANSFORM (integral)

  Forward:  X(f) = ∫ x(t) e^(-j2πft) dt     'how much of frequency f?'
  Inverse:  x(t) = ∫ X(f) e^(+j2πft) df     rebuild signal from spectrum

  The e^(-j2πft) factor is a 'probe sinusoid' you slide x(t) against;
  the integral measures how strongly x(t) correlates with that frequency.

令 T → ∞，傅立葉級數（對離散諧波的求和）就變成傅立葉轉換（對連續頻率的積分）。

結果就是[[ee-fourier-transform|傅立葉轉換]] X(f)：你得到的不再是一串諧波振幅，而是一個連續函數，告訴你 x(t) 中含有「多少」每一個頻率 f。正轉換是一個積分，它把探測正弦波 e^(−j2πft) 滑過你的訊號，量測兩者相關的強度；逆轉換則把所有那些頻率成分重新縫合回原本的時域波形。級數與轉換是同一個想法——把訊號分解成正弦波——只是看的尺度不同。週期訊號得到稀疏的線狀頻譜；非週期訊號得到稠密的連續頻譜。

大小、相位，與時間—頻率對偶

轉換 X(f) 是複數，所以它在每個頻率上攜帶兩份實數資訊。它的大小 |X(f)| 是大小頻譜——每個頻率含有多少，也就是每個音的響度。它的角度 ∠X(f) 是相位頻譜——每個音何時開始、它的時間偏移。初學者沉迷於大小而忽略相位，但結構恰恰住在相位裡：把一張照片的相位頻譜打亂、保留其大小，影像會溶解成雜訊；保留相位而把大小抹平，你往往仍能認出那張圖。相位說的是*東西在哪裡*；大小說的是*它們有多強*。

現在來到整個傅立葉分析中最深刻的模式——時間—頻率對偶。一個在時間上很窄的訊號，在頻率上很寬，反之亦然。一聲銳利、轉瞬即逝的喀噠——幾乎只是時間上的一瞬——需要極寬廣的頻率擴散才能堆出那份突然，所以它的頻譜寬闊而平坦。一個悠長、慵懶、純粹的音——在時間上鋪展開來——基本上只住在單一頻率，所以它的頻譜是一根細細的尖峰。在一個域裡擠壓訊號，它必然在另一個域裡鼓脹，就像氣球裡的空氣。

Time domain                    Frequency domain (magnitude)
--------------------------     -----------------------------
Narrow click (impulse-like)    Wide, nearly flat spectrum
   |                               ___________________
   |                              |                   |
---+---------------- t         ---+-------------------- f
   (instant)                       (all frequencies)

Long pure tone (sine)          Single sharp spike
  /\  /\  /\  /\                       |
 /  \/  \/  \/  \  t          --------+--------------- f
                                    (one frequency f0)

  RULE:  Δt · Δf  >=  constant    (narrow in one => wide in the other)
  Same maths as Heisenberg's uncertainty principle in quantum mechanics.

時間—頻率對偶：把訊號在時間上局部化，它就必須在頻率上擴散。兩者擴散的乘積有一個下限。

回報：為什麼捲積變成乘法

這裡就是整趟頻域繞路值得一走的理由，而它一路回扣到上一階。回想一個 [[ee-convolution|LTI 系統]]——一個放大器、一條纜線、一個房間的聲學——是透過與脈衝響應做捲積，把輸入變成輸出：一個翻轉—滑動—相乘—求和的操作，計算起來是貨真價實的苦工。奇蹟發生在你餵給這樣的系統一條純正弦波時：出來的是同一條正弦波，在同一個頻率，只是振幅被縮放、相位被移動。形狀絲毫未變。系統無法創造新頻率；它只能把每個既有頻率調大或調小，並在時間上滑移它。

這個性質有個精確的數學名稱：正弦波（或它們的複數形式 e^(j2πft)）是 LTI 系統的本徵函數。本徵函數是一種輸入，其*形狀*能毫髮無傷地穿過系統——只有一個縮放數字，也就是本徵值，會改變。所以若你先用傅立葉轉換把任意輸入分解成正弦波，每一條都各自獨立地穿過系統，僅僅被乘上它自己的複數增益。把這些輸出重新縫合起來，你就得到完整的響應——全程不見任何捲積求和的蹤影。

The convolution theorem — the single most useful identity in DSP:

  TIME DOMAIN              FREQUENCY DOMAIN
  ----------------        ------------------------
  y(t) = x(t) * h(t)  <-> Y(f) = X(f) · H(f)
         ^^^                       ^^^
      convolution             multiplication
   (flip-slide-sum,          (one complex multiply
    O(N^2) work)              per frequency, easy)

  H(f) = the system's FREQUENCY RESPONSE
       = Fourier transform of the impulse response h(t)

  So the recipe to run a signal through an LTI system:
    1.  X = FFT(x)          take the input to the frequency domain
    2.  Y = X * H           multiply, point by point, by H(f)
    3.  y = IFFT(Y)         transform back to the time domain

  This is exactly how a graphic EQ, a reverb plug-in, and a
  digital radio channel filter actually run.

捲積定理：時域中雜亂的捲積，在頻域中就是單純的逐點相乘。H(f) 就是頻率響應。

這就是捲積定理，也是整個階段的笑點所在：*時域的捲積等於頻域的乘法*。系統在每個頻率上施加的複數增益，匯集成單一個函數 H(f)，就是[[ee-frequency-response|頻率響應]]——而它不過是你上一階遇到的脈衝響應的傅立葉轉換。知道了 H(f)，你就能一眼預測系統對*任何*輸入的作為：它在哪裡增強、在哪裡削減、在哪裡延遲。這正是下一階的主題，在那裡 H(f) 成為核心角色，而波德圖讓你能從單一張圖上讀出系統的整體行為。

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退一步看，你剛才走的這一步，和相量是同一步：離開那個彆扭的域，做輕鬆的工，再回來。相量處理單一個頻率；傅立葉則一次處理全部頻率。一切都源自一個分解。

分解。任何訊號都是純正弦波的總和（週期 → 傅立葉級數）或積分（非週期 → 傅立葉轉換）。
把頻譜讀成兩部分：大小 |X(f)|（每個頻率有多少）與相位 ∠X(f)（每個頻率的時序）。
留意對偶：時間窄 ↔ 頻率寬。頻寬與時序是同一枚硬幣的兩面。
善用本徵函數：每條正弦波穿過 LTI 系統時被縮放與移相，形狀永不被改變。
兌現捲積定理：把捲積換成 X(f)·H(f)，再逆轉換回時域。