四條定律，各用一句話講完
到了一八六○年代，物理學家手上已有滿滿一抽屜的實驗定律——庫侖定律、高斯定律、法拉第定律、安培定律——每一條都描述電或磁的某一個角落。它們都有用，卻像四份毫不相干的食譜各自躺著。馬克士威的天才在於看出：它們其實是同一首詩的四段，而這首詩若仔細讀，竟預言了沒人量測過的東西——一道波。在談那道波之前，我們先用白話、不帶任何向量微積分，把這四段念清楚。
- [[ee-gauss-law|電的高斯定律]]： 電荷是電場的源頭。場線從正電荷出發、終止於負電荷。把任意封閉曲面包住一團電荷，你就能精確數出有多少場線穿出來——它與裡面的電荷量成正比。
- 磁的高斯定律： 沒有磁荷。磁場線從不起頭也從不終止——它們永遠閉合成迴圈。把一根條形磁鐵鋸成兩半，你得到兩塊完整的磁鐵，永遠得不到一個孤零零的北極。這是最短、最奇妙的一條：磁單極根本不存在。
- [[ee-faradays-law|法拉第電磁感應定律]]： 一個變化中的磁場會產生旋轉的電場。把磁鐵穿過線圈，你就純靠運動憑空生出電壓。磁通量變化得越快，感應出的電場迴圈就越強。地球上每一台發電機靠的都是這條定律。
- [[ee-amperes-law|安培定律]]（原始版本）： 電流會產生環繞的磁場。讓電流沿導線上行，磁場便以同心圓環繞著它——這就是右手定則。它本是法拉第定律的搭檔，但我們接下來會看到，它其實暗藏一個缺口。
缺失的一項：位移電流
馬克士威是在思考一個正在充電的電容器時找到那道裂縫的。想像兩片金屬板中間隔著縫隙，接進一個電路裡。電流在導線中流動，把電荷一點一點堆到板子上。安培定律說：任選一個迴圈，環繞它的磁場由穿過你「撐在這迴圈上的任意一張曲面」的電流決定。通常你選哪張曲面都無所謂——同樣的電流，同樣的答案。
但現在把曲面撐得鼓出來、正好落在電容兩板之間的縫隙裡。沒有任何電荷穿越那道空隙——穿過這張曲面的傳導電流是零。可是若把曲面鼓向導線，它仍承載著完整的電流。同一個迴圈、兩張曲面、兩個不同答案。安培定律自相矛盾了。那道縫隙裡一定有某種物理在發生。
這就是馬克士威的躍進。當電荷堆上板子，縫隙中的電場越長越強——這個場正在變化。馬克士威主張：就「製造磁場」這件事而言，一個變化中的電場其作用就如同電流。他稱之為位移電流；把它補進去，矛盾便完美癒合：穿過導線時是真正的電流，穿過縫隙時是變化的 E 那一項，兩者給出完全相同的磁場。這條定律對任意曲面都自洽了。
Charging capacitor — same Ampère loop, two surfaces:
wire (real current I) wire
----------+ +----------||----------
| || ||
----[loop encircles wire here]---- ||
| || ||
Surface A || Surface B
(cuts the wire) || (bulges into the gap)
||
+plate || -plate
========||======== E field growing -->
Surface A: conduction current I -> B field
Surface B: conduction current 0
+ displacement current eps0 * dE/dt -> SAME B field
Maxwell's fix: total = I_conduction + eps0 * (dPhi_E/dt)波如何脫離一切、奔向真空
現在把這兩條對稱的定律當成一場接力賽來跑。想像你晃動一個電荷——比方一顆電子在天線裡上下抖動。這一抖製造出變化的電場。依馬克士威新加的那一項，變化的 E 會在稍遠處生出一個磁場。但那個 B 場也在變化（它剛冒出來，接著增強又消退）。依法拉第定律，變化的 B 又在更遠處生出 E 場。這個新的 E 同樣在變化，於是又在它之外造出 B——如此一棒接一棒，不斷向外。
每個場都在比自己領先一步的地方不斷重新製造另一個場。這個擾動不需要導線、電荷或任何介質來維持下去——一旦發射出去，它就完全自給自足。這就是電磁波：一場 E 與 B 之間不斷傳遞的接棒，穿越全然空無的空間向外行進。源頭（天線）只需把它啟動；此後這道波便靠自己持續前進，直到被吸收為止。
洩漏天機的那個速度
當馬克士威把代數做完——把「變化的 B 生 E」與「變化的 E 生 B」兩條定律合在一起——它們塌縮成單一個波動方程式。而波動方程式總會告訴你波的速度，且這速度由你早已在實驗室量過的兩個常數寫成：ε₀（真空對電場反應的強弱）與 μ₀（真空對磁場反應的強弱）。算出來的速度，正是它們乘積開根號的倒數。
Wave speed from Maxwell's equations:
1
c = -----------
sqrt(eps0 * mu0)
eps0 = 8.854e-12 F/m (electric constant)
mu0 = 4*pi*1e-7 H/m (magnetic constant, 1.2566e-6)
c = 1 / sqrt( 8.854e-12 * 1.2566e-6 )
= 1 / sqrt( 1.1127e-17 )
= 2.998e8 m/s
Measured speed of light (Fizeau, ~1850s): ~3.0e8 m/s
^^^ identical馬克士威代入數字，得到約 3×10⁸ 公尺/秒。這個數字早已家喻戶曉——正是量測到的光速。如此精確的巧合，已經不可能是巧合。用他自己克制的話說，這份吻合顯示「光本身就是一種電磁擾動」。光、無線電、火焰的光輝——全是同一種波，差別只在 E 與 B 擺動得多快。
波的形狀：橫波，E ⊥ B ⊥ 行進方向
方程式給的不只是速度——它還精確釘死了波的幾何形狀。電磁波是橫波：E 場與 B 場都指向波行進方向的側邊，從不沿著行進方向。而且兩者彼此互相垂直。舉起你的右手：若 E 沿你的手指方向，把手指彎向 B，大拇指就指向波前進的方向。這三個方向構成一組整齊的彼此互相垂直的三元組。
Snapshot of a plane EM wave (frozen in time):
E (up/down)
^
| .-. .-. .-.
| / \ / \ / \
----+--/-----\----/-----\----/-----\----> direction
| / \ / \ / \ of travel (z)
|/ \/ \/ \
B (in/out of page) oscillates in step, 90 deg around
* E and B peak together (in phase), cross zero together
* E _|_ B _|_ travel (all three mutually perpendicular)
* wavelength (lambda) = distance between two crests
* frequency (f) = crests passing a point per second
* always: c = lambda * f任何這樣的波都由兩個數字描述。波長 λ 是相鄰波峰之間的距離；頻率 f 是每秒掃過某固定點的波峰數目。它們被速度鎖在一起：c = λ·f。由於 c 是固定的，波長越短就一定意味著頻率越高。把波拉長，它是無線電；把它壓短，它就成了光，再壓就是 X 射線。同樣的物理，截然不同的 λ。
同一道頻譜：從無線電到伽馬射線
由於 λ 與 f 可以取任何值，電磁波構成一道連續的階梯，稱為電磁頻譜。我們的眼睛只調諧到其中薄得可笑的一小段——可見光，波長約從 400 奈米（紫）到 700 奈米（紅）。其餘一切對我們都是隱形的，卻一律受這同樣四條方程式支配。你的 Wi-Fi 路由器和一個遙遠的類星體，都只是在搖晃 E 與 B 場，只是節奏不同罷了。
THE ELECTROMAGNETIC SPECTRUM (low f / long lambda -> high f / short lambda) Radio ~ km to m AM/FM, TV, Wi-Fi, mobile (kHz - GHz) Microwave ~ cm radar, ovens, 5G, satellite (~ GHz) Infrared ~ um heat, night vision, fibre (THz) VISIBLE 400-700 nm what your eyes can see (~500 THz) Ultraviolet~ 10-400 nm sunburn, sterilising lamps X-ray ~ 0.01-10 nm medical imaging Gamma < 0.01 nm nuclear, cosmic, most energetic All of it: same c, same E _|_ B, same Maxwell's equations. Only lambda and f change.
這正是為什麼一門電磁學課程默默地撐起了現代科技的一半。設計一支天線、用光纖傳送資料、替骨折拍片、煮一頓飯、收聽調頻廣播——每一樣都是在發射、導引與吸收馬克士威早在紙上預言、而當時還沒有人傳送過的那道波。海因里希・赫茲終於在一八八七年產生並偵測到無線電波，距方程式宣稱它們必然存在已過了二十多年。