運算放大器與負回授的魔力

好到沒法用的放大器

在第 5 級你做了一個共射極放大器，並發現了類比設計的核心矛盾：單顆電晶體大概給你 50 倍的增益，但這個增益會隨溫度漂移、隨零件而異、還會隨訊號大小改變。你可以要增益，也可以要可預測性，但兩者很難兼得。運算放大器用一個近乎作弊的把戲解決了這個問題。

運算放大器其實就是一個由許多電晶體組成的放大器，有兩個輸入——一個非反相輸入（標 +）和一個反相輸入（標 −）——以及一個輸出。它的工作說起來簡單到驚人：它把兩個輸入之間的*差值*乘上一個巨大的數字，叫做開迴路增益 A。對經典的 µA741 來說，A 大約是 200,000；對現代的精密元件來說，A 可以超過一千萬。

          V+  o------|+\
                     |  \
                     |   >----o  Vout = A * (V+  -  V-)
                     |  /
          V-  o------|-/        A ~ 200,000  (open-loop)

  Power rails (often omitted in schematics): +Vs at top, -Vs at bottom.
  Output can only swing between the two supply rails.

運算放大器的符號及其定義方程式。增益 A 大到最好直接把它當成「實際上無限大」。

負回授：馴服猛獸

解法是工程學上最偉大的點子之一。取輸出的一小部分，把它*回送*到反相 (−) 輸入，讓輸出永遠朝著*抵消*輸入變化的方向作用。這就是負回授，原理跟恆溫器一模一樣：房間太熱時，暖爐就調小。系統不斷地朝目標自我修正。

現在看看那巨大的增益替我們買到了什麼。假設反相輸入比非反相輸入高出 1 微伏。輸出把這個差值乘上 200,000，於是下降 0.2 V。透過回授線，這個下降的一部分又把反相輸入*推回去*。運算放大器會不斷調整輸出，直到兩個輸入被逼到只差*一根頭髮絲*——因為只要還剩下任何有意義的差值，那龐大的增益早就把輸出衝到電源軌了。系統最終穩定在那個讓兩輸入幾乎相等的唯一輸出電壓上。

黃金法則一——虛短路。運算放大器會驅動輸出讓兩輸入相等：V₊ = V₋。兩者之間其實沒有電流流動，但分析時把它們當成同一電壓。若 + 輸入接地，則 − 輸入表現得像「虛接地」——電位 0 V，卻並未真的連到地。
黃金法則二——輸入不取電流。輸入端幾乎不取電流（真實運算放大器的輸入偏壓電流落在皮安到奈安等級）。所以流進輸入節點的電流，必定原封不動地從回授元件流出去。

反相放大器：兩顆電阻定增益

讓我們把黃金法則用在最常見的運算放大器電路上。把 + 輸入接地。訊號源經由電阻 R_in 接到 − 輸入，再把回授電阻 R_f 從輸出接回同一個 − 節點。其他什麼都不接。

              R_in          R_f
  Vin  o----[====]----+----[====]----+----o Vout
                      |              |
                      |   |\         |
                      +---|-\        |
                          |  >-------+
                  GND o---|+/
                          |/

  Node X (the - input) is a VIRTUAL GROUND: V_X = V+ = 0 V

反相放大器。− 輸入位於虛接地，即使沒有任何導線把它連到 0 V。

現在分析短到幾乎令人不好意思。由法則一，− 節點是 0 V 的虛接地。所以訊號源經 R_in 推進來的電流就是 I = (Vin − 0) / R_in。由法則二，這股電流不會進入運算放大器，所以它全部必須繼續流過 R_f 到輸出。R_f 上的壓降是 I × R_f，而它的起點電位是 0 V，於是輸出比地電位*低*正好這麼多：

  I_in  = (Vin - 0) / R_in          (current into the node)
  Vout  = 0 - I_in * R_f            (current out through R_f)

  =>  Vout = - (R_f / R_in) * Vin

  Example:  R_f = 100 kOhm, R_in = 10 kOhm
            Gain = -100k/10k = -10
            Vin = 0.2 V  ->  Vout = -2.0 V

反相增益只取決於兩顆電阻的比值——與運算放大器的開迴路增益 A 無關。

非反相放大器與緩衝器

如果你想要正增益，又不想讓輸入經由電阻去拉動訊號源呢？那就把訊號直接送進 + 輸入。回授網路照舊——R_f 從輸出接到 − 節點，R_g 從 − 節點接地。

  Vin o------|+\
             |  >----+----o Vout
        +----|-/      |
        |    |/       |
        |   [R_g]   [R_f]
        |    |        |
        +----+--------+
             |
            GND

  Rule 1:  V- = V+ = Vin
  The R_g/R_f pair is a voltage divider FROM Vout, and its tap = Vin:
      Vin = Vout * R_g / (R_g + R_f)
  =>  Vout = Vin * (1 + R_f / R_g)

非反相放大器。增益永遠 ≥ 1，且輸入幾乎不從訊號源取電流。

再套一次法則。法則一說 V₋ = Vin。電阻 R_f 與 R_g 構成一個從輸出到地的分壓器，其中點*就是* − 節點——我們剛說它等於 Vin。解這個分壓器，就得到 Vout = Vin × (1 + R_f/R_g)。和先前一樣的獎品：由電阻比值決定的乾淨增益，A 不見蹤影，只是現在是正值且 ≥ 1。

開迴路：比較器

整篇指南我們都在馴服運算放大器那巨大的增益。但有時候，那一觸即發的靈敏度*正是*你要的。把回授完全拿掉——讓運算放大器跑在開迴路——黃金法則就不再適用。輸出此刻只問一個是非題：V₊ 有沒有大於 V₋？是的話，輸出衝向正電源軌；不是的話，衝向負電源軌。你做出了一個比較器，一個一位元的類比轉數位決策器。

  Vref ---|-\
          |  >---- Vout       Vin > Vref  ->  Vout = +Vsat (HIGH)
  Vin  ---|+/                  Vin < Vref  ->  Vout = -Vsat (LOW)

   Vin /\      /\       /\
      /  \    /  \     /  \     <- analog input crossing Vref
  --/----\--/----\---/----\--  Vref (threshold)

  Vout  __----____----______----   <- clean digital high/low

運算放大器以開迴路作為比較器：平滑的類比輸入變成俐落的雙位準數位輸出。

這是類比與數位兩個世界之間的橋樑：溫度感測器越過設定點、音訊訊號越過零點、電池電壓掉到門檻以下。實務上你會用*專用*的比較器晶片，而不是通用運算放大器——比較器是為了快速切換並驅動邏輯位準而設計的，而運算放大器則為了維持線性而最佳化，被硬撞到電源軌時反應會遲鈍。

回授的代價，與接下來

負回授感覺像免費的精度，但天下沒有白吃的午餐。開迴路增益 A 只在直流時巨大；頻率一升高它就滑落。真實運算放大器遵守一個叫增益頻寬乘積 (GBW) 的常數：閉迴路增益 × 頻寬 ≈ 一個固定值。µA741 的 GBW 約 1 MHz，所以增益 10 留給你 100 kHz 頻寬，增益 100 只剩 10 kHz。你用增益換頻寬，或用頻寬換增益——二選一。

還有第二個速度限制。不管訊號多小，輸出爬升的速度都不能超過一個固定的「伏特每微秒」值——它的轉動率。要一顆 741（轉動率約 0.5 V/µs）重現又快又大的擺幅，它跟不上：本該平滑的正弦波，出來變成歪一邊的三角波。GBW 限制*小*訊號；轉動率限制*又大又快*的訊號。真實設計必須同時尊重兩者。

你現在握有類比電路的萬能鑰匙。把回授電阻換成電容，運算放大器就會做積分或微分；把它們排成與頻率相關的網路，你就得到塑造訊號頻譜的主動濾波器；把回授繞在功率電晶體上，你就得到把輸出穩如磐石的電壓調節器。下一級正是往那裡走——濾波器與調節器——全用你今天學會的這兩條黃金法則搭起來。