從 RC 到諧振槽：LC 共振器
第 2 篇的 韋恩電橋與相移振盪器，在幾百 kHz 以內都很可愛，但每一節 RC 只能溫和地把相位推進一點點，而且零件一漂移，頻率就跟著遊走。一旦往射頻爬，我們會想要一個天生就在某個頻率上振鳴、而不是被硬哄到那裡的零件。那個零件就是 LC 諧振槽：一顆電感跨接在一顆電容上。電容是一只抗拒電壓驟變的水桶；電感是一個抗拒電流驟變的飛輪。把電容充飽，讓它把電荷倒進線圈使電流建立起來，接著線圈崩塌的磁場又把電荷反方向推回電容——能量就這樣自己來回擺盪。
這種擺盪就是 共振，而它發生在一個乾淨的頻率：f = 1 / (2 times pi times sqrt(L times C))。取 L = 10 uH、C = 100 pF，你就落在 f = 1 / (2 times pi times sqrt(10 times 10^-6 times 100 times 10^-12))，大約 5 MHz——正是 RC 振盪器開始笨手笨腳的地方。真實的諧振槽每一個週期都會把一點能量損耗在電阻上，所以放著不管它就會振鳴遞減而死去，就像被推的鞦韆慢慢停下。LC 振盪器的全部工作，就是每個週期、在對的時刻，把那一小口被損耗掉的能量補回去，就像鞦韆每次盪回來時輕輕推它一下。
考畢茲與哈特萊：從諧振槽取出回授
回想第 1 篇的 巴克豪森準則：要穩定振盪，訊號繞迴路一圈回來時必須大小不變（迴路增益大小恰為 1）且同相（總相位為 0，也就是 360 度）。LC 振盪器其實就是一個以諧振槽為負載的放大器，並把諧振槽擺幅的一小片當作正回授送回輸入。諧振槽身兼兩職：它決定頻率，因為只有在共振時相位才對；它也透過一個分壓器提供回授比例。要做出這個分壓器，有兩種天然的方式——它們給出兩種經典拓撲。
考畢茲（Colpitts）把電容拆成串聯的兩顆 C1 與 C2，並從兩者之間的接點取出回授。哈特萊（Hartley）則把電感拆開（或用一個中央抽頭的線圈），從中間取出回授。無論哪種，放大器提供大約 180 度的相位，諧振槽的分壓器在共振時提供另外 180 度，加總成準則要求的整整 360 度。回授比例由分壓比決定：在考畢茲裡大約是 beta = C1 / C2，所以放大器必須給出至少 C2 / C1 的增益，才能把迴路增益推到 1。
COLPITTS (capacitive divider taps the tank)
+---[ L ]---+----o Vout (full tank swing)
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| === C1
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| +----o feedback tap -> amp input
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| === C2
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+-----------+----o GND
|
( amp restores the lost energy each cycle )
series cap Cs = C1 x C2 / ( C1 + C2 )
frequency f = 1 / ( 2 x pi x sqrt( L x Cs ) )
feedback beta ~ C1 / C2 -> amp gain must be >= C2 / C1
HARTLEY = same idea, but split the INDUCTOR
(tapped coil) instead of the capacitor.給考畢茲套上數字。取 C1 = 100 pF、C2 = 1000 pF，串聯值為 Cs = (100 times 1000) / (100 + 1000)，大約 91 pF；再配上 L = 10 uH，f = 1 / (2 times pi times sqrt(10 times 10^-6 times 91 times 10^-12)) 大約是 5.3 MHz。回授比例為 C1 / C2 = 0.1，所以電晶體需要至少 10 倍的電壓增益才能起振。一個好記的口訣：考畢茲有 Capacitors（電容），哈特萊有……線圈。實務上，現代設計多半由考畢茲勝出，因為兩顆又小又穩的電容，比一個抽頭電感便宜、表現也更好，而且更少惱人的寄生電感。
起振、振幅，以及 LC 會漂在哪裡
這裡有第 1 篇那個一模一樣的起振悖論。要從無到有起步，迴路增益必須大於 1，電路中本就存在的微弱雜訊才能長大；但要停在固定振幅，它又必須落到恰好 1，否則擺幅會永無止境地長下去。便宜又常見的解法，是把增益設計成 1 的好幾倍，然後讓擺幅長到電晶體沒了餘裕——它開始削峰，而當峰值逼近電源軌時，它的有效增益便垂下來。這種非線性會自動把平均迴路增益拖回 1。它行得通，但削峰會注入諧波；所幸高 Q 的諧振槽把大部分諧波濾掉了，所以輸出仍是一個體面的正弦波。更乾淨的設計則改用一個溫和的振幅穩定迴路，正如第 2 篇的韋恩電橋那樣。
現在來談 LC 振盪器誠實的限制：它的頻率只跟 L 與 C 一樣穩，而兩者都會漂。電容與線圈的值隨溫度改變；電晶體本身的接面電容偷偷溜進諧振槽，並隨偏壓與發熱而移動；甚至附近的一隻手或一塊金屬都會推它一把。所以日常的 LC 振盪器，頻率只能守在大約 0.1 到 1 個百分點——也就是 1000 到 10000 ppm 的遊走。拿來當收音機裡可調的本地振盪器綽綽有餘，要拿來計時則毫無指望。你甚至可以刻意利用這份柔軟，把諧振槽的一部分電容換成一顆變容二極體——一種電容會隨逆向電壓改變的二極體——讓一個控制電壓去調頻率。這就是你將在第 5 篇遇見的壓控振盪器的種子。
石英晶體：品質因數驚人的共振器
若你想要好上一千倍的穩定度，就把 LC 諧振槽丟掉，改去敲響一片石英。石英晶體具有壓電性：擠壓它會產生電壓，施加電壓它會實際彎曲。一片精準切割的薄片，會以一個銳利的天然頻率機械式振動，像一支顯微鏡下的音叉。由於這是一個乾淨的機械共振、而非漏能的電氣共振，它的 Q 大得驚人——從數萬到超過百萬，相比之下 LC 諧振槽再怎麼努力也就幾百。
在電氣上，晶體的行為像一個 LC 諧振槽，但等效電路令人吃驚：一條串聯的「機械臂」由一個極大的等效電感、一個極小的串聯電容與一個小電阻組成，整條臂又與封裝和電極電容 C0 並聯。那些機械臂的數值在物理上荒謬至極——以亨利計的電感與以飛法計的電容——這是你用真實線圈與電容絕無可能達到的數字，也正是它的 Q 與穩定度把 LC 遠遠甩開的原因。一個微妙處：晶體有兩個相鄰的共振，較低的串聯共振與略高的並聯共振，而一個電路會被設計成使用其中之一。
把精度化為數字。一顆普通晶體能把頻率守在大約 10 到 50 ppm（百萬分之幾）；10 MHz 下的 10 ppm，只是 100 Hz 的遊走。加上溫度補償（TCXO）可達大約 1 ppm；把晶體放進一個微型恆溫爐裡（OCXO），則可達大約 0.01 ppm。而那顆著名的 32.768 kHz 手錶晶體之所以被選中，有一個美妙的理由：32768 = 2^15，所以一個 15 級的二進位除頻器，就能把它變成精準的每秒 1 次脈動——這正是每一個即時時鐘的心跳。
晶體振盪器電路、抖動，與如何取捨
日常的 晶體振盪器就是 Pierce 電路：一個反相閘——一顆 CMOS 反相器，或微控制器內建的反相器——把晶體從輸出接回輸入，再加兩顆小小的負載電容，各從一端接地。它本質上就是一個由晶體扮演電感角色的考畢茲。由於石英對頻率的篩選凶猛無比，它強迫迴路振在它標定的頻率上、別無分號，無論那顆懶散的閘自己會搞出什麼花樣。
你必須遵守的那一條規格，是負載電容。並聯共振的晶體，只有在看到指定的負載電容時才會落在它標定的頻率上，這個值常是 12 到 20 pF；兩顆負載電容加上寄生電容必須湊到那個值，否則零件會偏個幾 ppm，你的時鐘就微妙地走錯了。幾個誠實的陷阱：晶體驅動太猛會讓它老化、甚至裂掉；麵包板上的寄生電容會把負載弄歪，可能害它永遠起不了振；而且雖然頻率穩如磐石，短期的相位雜訊——也就是它的抖動，那種逐週期間微小的時序晃動——在高速數位鏈路與射頻裡仍然要緊，且主要由晶體周圍的電路決定，而非晶體本身。
那麼該怎麼選？當你需要高的或可調的頻率、而百分點等級的精度就夠用時，就伸手拿 LC 振盪器——考畢茲或哈特萊：射頻前端與可調本地振盪器。當頻率單純必須精確又穩定時，就拿晶體：微控制器與即時時鐘、USB，以及收音機裡的基準。而當你需要一個既可調又被鎖在晶體精度上的頻率時，你會把一顆壓控振盪器與一個晶體基準，在鎖相迴路裡結為連理——這正是第 5 篇接著要帶你去的地方。