從巴克豪森到一個乾淨的單音
從第一篇你帶著一個配方：振盪器不過是一個包在正回授裡的放大器，而它要維持一個穩定的波，唯有當巴克豪森準則成立時——繞迴路一圈回來的訊號，大小完全一樣（迴路增益為 1）、步調也完全一致（總相移為 0 或 360 度）。第一篇刻意把這幅圖畫得「不分頻率」。本篇要回答的問題更銳利：我們要怎麼讓那兩個條件只在某一個頻率上成立，好讓輸出是一個單純的正弦波，而不是一堆音調嗡嗡作響的雜亂？
答案是在回授路徑裡放一個選頻網路——一個小小的濾波器，只在某一個頻率把訊號以完美的相位送回來，在其他每個頻率都送回錯的相位。在那一個頻率，迴路乾淨地閉合、正弦波長出來；在其他每個頻率，相位都不對、巴克豪森不成立，什麼都長不起來。挑選的工作交給網路；放大器只負責供應能量。
為什麼用電阻和電容來做那個濾波器？因為在音頻與儀表頻段——從幾赫茲到幾百千赫——LC 調諧電路會需要的電感又笨重、又耗損、又撿拾哼聲，正是你在濾波器那一級遇過的抱怨。R 與 C 便宜、精確又小巧。代價是 RC 網路本身沒有銳利的共振，所以相位只是溫和地穿過零點；我們得倚靠放大器與一個謹慎挑選的增益，把振盪釘牢。有兩種安排把這件事做得很漂亮：韋恩電橋與相移階梯。
韋恩電橋振盪器
韋恩電橋振盪器是低失真音頻正弦波的黃金標準。它的正回授網路是一個迷你帶通濾波器：一個電阻與電容串聯（上半支），餵入一個電阻與電容並聯接地（下半支），輸出取自兩支的交點。串聯 RC 擋掉低頻、並聯 RC 把高頻分流掉，而在兩者之間有一個頻率，通過網路的相移恰好為零。把它叫做 f0 = 1 / (2 times pi times R times C)。那個零相位點是迴路唯一能支撐的頻率，所以它就是你會得到的頻率。
優雅的地方在這裡。在那個恰好的 f0，韋恩網路不只給出零相位——它還恰好讓三分之一的電壓通過，不管你選的 R 與 C 是多少。於是巴克豪森的大小條件變得無比簡單：放大器必須以恰好為 3 的增益補回那份損失。把運算放大器接成非反相放大器（這讓相位保持為零，與網路相配），並用兩顆電阻設定它的增益：增益 = 1 + Rf/Rin。取 Rf = 2 times Rin，你就得到 1 + 2 = 3。現在迴路增益的大小為 1、相位為 0，而且只在 f0。
WIEN-BRIDGE OSCILLATOR (example: R = 16k, C = 10nF)
POSITIVE feedback = frequency-selecting Wien network
Vout o---[ R ]---| |---+----> Vp (Vp goes to + input)
series C |
[ R ] === C (R parallel with C)
| |
GND GND
NEGATIVE feedback = gain-setting divider on the - input
Vout o---[ Rf = 20k ]---+---[ Rin = 10k ]---GND
|
(-) input
gain = 1 + Rf/Rin = 1 + 20/10 = 3
f0 = 1 / (2 x pi x R x C)
= 1 / (2 x pi x 16000 x 10x10^-9) ~ 1 kHz
at f0: network passes 1/3 with 0 deg phase -> loop gain = 1讓我們給它套上數字。取 C = 10 nF、R = 16 k。則 f0 = 1 / (2 times pi times 16000 times 10 times 10^-9)，約為 1 kHz——一個乾淨的音頻音。要調頻率就改 R 或 C；把兩顆相同的可變電阻連動（每支一顆）能讓你掃過音高、同時保住那個神奇的 1/3。要把音調改變一個十倍，就把 R 或 C 縮放十倍。注意這個設計乾淨地一分為二：韋恩網路設定頻率，Rf/Rin 分壓器設定增益。正是這份分離，讓這個電路設計起來如此愉快。
振幅難題：為何「恰好為 3」做不到
現在來談誠實的卡點，而它正是每個正弦波振盪器的核心。恰好為 3 的增益是一道沒人站得住的刀鋒。若增益比 3 低一絲，迴路增益便不到 1，繞一圈就小一點，振盪逐漸消逝到無。若它比 3 高一絲，繞一圈就大一點，振幅愈長愈大，直到運算放大器撞上它的電源軌而削波——而削掉的波是個充滿諧波、近乎方形的爛東西，不是純正弦。真實電阻會隨溫度與容差漂移，所以你永遠無法把增益修到完美的 3、又指望它待在那裡。
解法是振幅穩定：一個溫和的自動增益控制，讓增益一開始略高於 3，使振盪能可靠地從雜訊長起來，接著在振幅到達目標時，悄悄把增益壓回精確的 3。把它想成一個給響度用的柔性恆溫器——絕不是一道硬牆，硬牆會削波並造成失真。訣竅是讓某一顆設定增益的電阻，隨輸出振幅改變數值。
三種經典做法。最古老也最甜美的，是在 Rin 那條腿放一顆小白熾燈泡：振幅升高時，更多電流加熱燈絲、它的電阻爬升、增益回落向 3——一個漂亮的自我調節元件（燈絲是一個正溫度係數電阻，是不帶電抗的熱敏電阻的表親）。當年讓惠普起家的 HP200A 音頻振盪器，用的正是這個燈泡把戲。第二種用一顆 JFET 當作壓控電阻，以一個小整流器偵測輸出、調整 JFET 的通道。第三種用二極體、或一對背對背的齊納二極體去鉗制增益，柔和地限制擺幅。
相移振盪器
相移振盪器以另一種方式湊到 360 度的總和。這裡放大器是一個反相級，它本身就把訊號翻轉 180 度。要讓迴路同相閉合，我們需要回授網路再貢獻 180 度——所以網路是一個三段相同的 RC 階梯，每段大約貢獻 60 度相移，加起來補上缺的 180 度。三段合起來恰好打到 180 度的那個頻率，就是迴路能維持的唯一頻率。
為什麼是三段、不是一段？單一 RC 自己永遠到不了 180 度——它趨近 90 度就投降了。即使兩段，也得各自緊貼到 90 度，那裡的衰減極為殘酷。三段把負擔舒服地分攤，各做約 60 度，落在它仍能讓相當比例訊號通過的區域。然而這麼多相位的代價是損失：在振盪頻率，三段階梯把訊號衰減到輸入的 1/29。於是巴克豪森現在要求反相放大器供應 29 倍（大小）的增益來補回它——遠多於韋恩電橋俐落的 3。
三段相等高通段（C 串聯、R 接地）的頻率是 f0 = 1 / (2 times pi times R times C times sqrt(6))。試 R = 10 k、C = 10 nF：那個 sqrt(6) 約為 2.449，所以 f0 = 1 / (2 times pi times 10000 times 10 times 10^-9 times 2.449)，算出來大約 650 Hz。相移振盪器迷人地簡單——一顆電晶體或一顆運算放大器，加上一把相等的零件——這就是它成為人人喜愛的入門作品的原因。它誠實的弱點：較難調諧（你得把三段一起改才能保持相位正確）、它需要那個吃力的 29 倍增益，而且它的正弦明顯比一個穩定後的韋恩電橋更失真，因為高的迴路內增益與溫和的濾波讓諧波溜了過去。
動手設計一個，以及誠實的限制
- 選你的音。決定目標頻率 f0 與拓撲——要低失真又好調就用韋恩電橋，要極致簡單就用相移。
- 先選 C，再解出 R。電容只有粗略的值，所以把 C 固定在一個合理值（比方 10 nF），把 f0 公式重排來求 R。讓 R 落在大約 1 k 到 100 k 之間，使它既不對運算放大器造成負載，也不讓雜散電流變得要緊。
- 把增益設得剛剛好。韋恩：Rf/Rin = 2（增益 3）；相移：增益 29。瞄準高出幾個百分點以便起振，絕不要高得離譜。
- 加入振幅穩定（韋恩電橋必備）。放進一顆燈泡、一組 JFET 加整流器、或一個二極體鉗位，讓增益在運轉後自我修整到那個神奇值。
- 在工作檯上驗證。用示波器看起振（它應該在許多週期間慢慢長大）、檢查頻率，並留意削波、或一個毛躁、滿是諧波的波形——那代表增益或穩定沒調好。
有幾條限制要尊重，因為一個紙上完美的電路，在工作檯上仍可能鬧脾氣。起振取決於開機時迴路增益高於 1——太接近邊緣，振盪就永遠起不來；它賴以長大的雜訊是真實的、卻很微弱，所以給它一點餘裕。運算放大器有有限的增益頻寬積與有限的轉動率：若你想讓韋恩電橋運行在接近運算放大器頻寬之處，多出來的相位落後會移動你的頻率、甚至徹底扼殺振盪，所以把 f0 保持在遠低於該零件能力的地方。還有麵包板的雜散電容——每兩條相鄰的金屬條之間都有幾皮法——會悄悄把自己加到你的計時電容上；在 1 kHz 它可忽略，但它會把一個 100 kHz 振盪器拉離頻率，這也是精密或高速振盪器想要一塊真正的印刷電路板的原因。