把一顆電阻換成一顆電容
在這一階裡，你從兩句話就建起了一整個家族。把 + 輸入壓下去，虛接地給了你反相放大器（增益 -Rf/Rin）；把訊號移到 + 腳，就成了非反相放大器（增益 1 + Rf/Rin）；把它的回授電阻縮成一條導線，就是單位增益緩衝器；把好幾個輸入倒進同一個虛接地，就有了加法與差動放大器。每一個都遵守同樣那兩條黃金法則。現在我們做一個小小卻大膽的更動：把一顆回授電阻換成一顆電容——於是這個電路不再做代數，開始做微積分。
電容為什麼會改變一切，藏在你在交流那一階見過的一個事實裡：電容是一個小小的可充電水桶，它的電流取決於它的電壓變化得多快，I = C times dV/dt。把一道穩定的電流灌進去，它的電壓就爬出一道穩定的斜坡。把它看成一個會隨頻率變化的電阻，它的電抗 Xc = 1/(2 times pi times f times C) 隨頻率升高而下降——對慢訊號是肥厚的阻抗，對快訊號則近乎短路。把這種偏心的行為和電阻平坦的阻抗配在一起，增益本身就變得與頻率有關，由時間常數 RC 掌管。
積分器：以穩定速率注滿的水桶
來搭積分器：輸入經 Rin 進負腳，一顆電容 C 當回授元件，+ 腳接地。負腳是個 0 V 的虛接地，所以輸入電流就單純是 Iin = Vin/Rin。那道電流灌進 C，而由於電容的電壓是它累積的電流再除以 C，輸出（跨在虛接地下方的 C 上）就變成 Vout = -(1/RC) times Vin 的累計積分。那個負號是熟悉的反相；而 1/RC 決定了水桶注滿得多快。
把它弄具體。取 Rin = 100 k、C = 100 nF，所以 RC = 100,000 times 100 times 10^-9 = 0.01 s = 10 ms。把輸入固定在 +1 V。輸出不會跳到某個值——它會爬坡，以 -Vin/RC = -1/0.01 = -100 V/s 的速率往下滑，也就是每毫秒 -0.1 V。10 ms 後它到了 -1 V，20 ms 後 -2 V，而且會一直走下去，直到撞上某條電軌。固定的輸入給出筆直的斜坡；那就是積分器的招牌。
現在餵它一些形狀。一個方波（先穩定向上、再穩定向下）積分後變成三角波——上斜坡、下斜坡——這正是藏在無數函數產生器內部的經典波形整形。在頻率的世界裡，同一個電路是一個主動低通濾波器：因為電容的電抗隨頻率下降，增益（Xc/Rin）就隨頻率穩穩地下降，平滑地衰減快速的抖動、放行緩慢的變化。積分器和一個溫和的低通，是同一個電路的兩張臉——求平均與平滑，不過是披著外衣的積分。
微分器：鏡中的倒影
把這兩個零件對調，你就得到微分器：現在電容是輸入元件，而一顆電阻 Rf 是回授。流進虛接地的電流是電容的電流，C times dVin/dt，那道電流流過 Rf，所以 Vout = -RC times dVin/dt。輸出不再報告輸入有多大——它報告輸入變化得多快。平坦的輸入給出零；陡峭的變化給出高高的尖峰。
沿用 RC = 10 ms（Rf = 100 k、C = 100 nF）。餵進一道以 +100 V/s 上升的斜坡；只要斜坡還在爬，輸出就穩穩停在 -RC times 100 = -0.01 times 100 = -1 V。因此一個三角波——先上斜坡、再下斜坡——微分後變成一個方波，每當斜率翻轉，它就翻一次正負號。在頻率的世界裡，這是一個主動高通濾波器：增益（Rf/Xc）隨頻率上升，恰是積分器的鏡像。而那個上升的增益，也正是微分器的詛咒，誠實的那一節會說明。
INTEGRATOR DIFFERENTIATOR
what swaps feedback R -> cap C input R -> cap C
output -(1/RC) x integral(Vin dt) -RC x dVin/dt
steady input a ramp (constant slope) zero (nothing changing)
square wave in triangle wave out narrow spikes out
triangle wave in parabola-ish out square wave out
frequency view gain FALLS with f gain RISES with f
= active low-pass = active high-pass
real-world snag drifts to a rail amplifies noise, can ring
the usual fix big R across C, + reset small R with C, small C on Rf
Both examples use RC = 100k x 100nF = 10 ms.回授買到了什麼
從這些電路退開，看看你整階一直在做的這筆交易。在每一個電路裡，閉迴路增益都化成了兩個元件的比值，而運算放大器自己那龐大的開迴路增益從答案裡消失了。原因是負回授：閉迴路增益等於理想比值乘上 1/(1 + 1/T)，其中 T 是迴路增益——在迴路裡循環的多餘增益。當 T 很大時，那個修正項基本上就是 1，增益就是那個比值，沒別的。回授花掉多餘的增益，去買精準。
而精準只是籃子裡的第一樣東西。同樣那份多餘的迴路增益，還買到了穩定——當溫度、老化與零件間的差異把生的運算放大器推來推去時，增益幾乎紋風不動。它買到了低失真，因為迴路會即時修正放大器自己那些非線性的彎折。它買到了量身訂做的阻抗——+ 腳近乎無窮的輸入電阻、近乎零的輸出電阻，那正是緩衝器值得一做的原因。而對給定的增益，它還把頻寬壓平、拓寬。一個機制，一整籃的美德——這就是負回授之所以是類比設計脊梁的原因。
天下沒有白吃的午餐，而帳單在高頻時到期。迴路增益 T 並非常數：它隨頻率攀升而下降，由增益頻寬積決定——一顆 1 MHz 的零件若設為增益 100，到 10 kHz 迴路增益就用罄了，再上去，上面那一籃美德會一起褪色。更糟的是，那能修正的回授本身也可能翻臉：若訊號回到負腳時來得太遲——迴路繞一圈累積了太多相位移——修正就從反對變成助長，放大器便爆成振盪。把那份延遲管好，正是放大器穩定性的全部功夫，也是下一階的頭條主題。
誠實的界線，與沒有回授的運算放大器
理想積分器藏著一個在真實生活裡會狠咬一口的缺陷。真實的運算放大器有一點點輸入失調電壓與一點小小的輸入偏壓電流，而完美的積分器連這些也一併積分——所以即使把輸入接地，輸出也會慢慢爬，直到停靠在某條電軌上。誠實的解法是在電容兩端跨一顆大電阻：它把失調洩掉、並把直流增益封在 -R(大)/Rin，代價是不再對最低的那些頻率積分。精密積分器還會加一個重置開關，一聲令下就把電容倒空。課本上的公式是起點，不是完工的電路。
微分器有相反的惡習。因為它的增益隨頻率上升，它會毫不留情地放大高頻雜訊——那種積分器本會抹平的細微嘶聲，微分器會把它炸大。而那上升的增益最終會撞上運算放大器下降的開迴路增益，這正是製造振鈴或徹底振盪的配方。標準解法是別讓增益永遠上升：在輸入電容串一顆小電阻、再在回授電阻上並一顆小電容，就把選定頻率以上的響應壓平，拿理想的高頻微分去換一個真的乖乖聽話的電路。
再退一步，平常那些誠實的圍籬，對這些電路全都適用。黃金法則只在有負回授、且在晶片真實的極限之內才成立——輸出無法越過電源軌，也無法移動得比迴轉率更快。這些 RC 電路對佈線也異常挑剔：麵包板的雜散電容與拾取，可能淹沒一道微小的積分電流，或正好把微分器最愛的雜訊餵給它；而一個略去這些寄生效應的模擬，會看起來完美無瑕，實驗檯上卻在搗亂。在快速或精密的工作裡，佈線本身就是一個電路元件。