加法、差動，與積木式組件

一個節點，許多股電流

第 2 篇遞給我們一個奇妙的節點：反相放大器反相輸入處的那個虛接地。在負回授之下，運算放大器把這個節點維持在 0 V——但依照黃金法則的第一條，那裡其實沒有電流流進輸入腳。我們用它從單一一顆輸入電阻算出了 -Rf/Rin 的增益。現在問一個再自然不過的問題：要是不只一顆電阻接到這個節點呢？

關鍵的洞見在此，而它純粹是記帳。每一顆接到虛接地的電阻，都送出它自己的一股電流，這股電流只由它遠端的電壓決定（它的近端被釘在 0 V）。因為黃金法則 1 不准任何一股電流消失進運算放大器的輸入，所以這些電流必須在節點相會、再一起繼續流下去。這正是克希荷夫電流定律：流進去的，必須流出來。這個節點是個整潔的會合處，電流在這裡單純地相加——而這個「相加」，就是本篇全部的祕密。

加法放大器：用電阻做成的混音器

把反相放大器拿來，餵給它好幾個輸入，每個各透過自己的電阻，全都抵達同一個虛接地節點。輸入 V1 透過 R1 推出 I1 = V1/R1；輸入 V2 透過 R2 推出 I2 = V2/R2；依此類推。它們在節點全部相加，這個總和被迫從回授電阻 Rf 流出去。輸出必須降得夠低，好讓 Rf 載走這股總電流，於是 Vout = -(I1 + I2 + ...) times Rf。這就是加法放大器——一個只用電阻和一顆運算放大器搭成的加權加法器。

  V1 o--[ R1 ]--+
                |
  V2 o--[ R2 ]--+----+------[ Rf ]------+
                |    |                   |
  V3 o--[ R3 ]--+  (-)|\                 |
                     | | \               |
          0 V node   | |  >--------------+--o Vout
                     | | /
                    (+)|/
                     |
                    GND

  I1 = V1/R1, I2 = V2/R2, I3 = V3/R3 all meet at the
  0 V virtual-ground node. Rule 1: none enters the (-)
  input, so the whole sum flows on through Rf:

     Vout = -(I1 + I2 + I3) x Rf
          = -Rf x (V1/R1 + V2/R2 + V3/R3)

  Equal resistors (R1=R2=R3=R):  Vout = -(Rf/R)(V1+V2+V3)

加法放大器。每個輸入都有自己的電阻接進共用的虛接地；各股電流相加，再由 Rf 把總和轉換回一個輸出電壓。

替它套上數字。把四顆電阻都設成 10 kΩ（R1 = R2 = R3 = Rf = 10 kΩ）。那麼 Vout = -(V1 + V2 + V3)，剛剛好——一個乾淨的反相加法器。餵進 1 V、2 V、0.5 V，輸出就是 -3.5 V。想要平均值而非單純的總和？用 Rf = 10 kΩ，但每個輸入用 R = 30 kΩ：Vout = -(10/30)(V1 + V2 + V3) = -(V1 + V2 + V3)/3，三者的負平均。而且各權重不必相等：較小的電阻讓那個聲道更有發言權，就像混音台上的一根推桿。

差動放大器：把兩個訊號相減

你常常要的不是總和，而是差：一座惠斯通電橋兩端的電壓、兩條感測器支路之間微小的不平衡，或是一個騎在巨大、不想要的偏移之上、而那偏移對兩條線都一樣的訊號。任務是把兩個輸入之間不同的部分放大，同時無視它們共有的部分。這就是差動放大器（或稱減法器），它用一顆運算放大器加四顆電阻。

讓 V1 透過 Ra 進到反相輸入，以 Rb 作回授。讓 V2 透過一顆相同的 Ra 進到非反相輸入，再從那個 + 節點接一顆相同的 Rb 下到地。讀懂它最乾淨的方法是疊加。把 V2 殺掉（接地）：+ 輸入坐在 0 V，於是 V1 看到的是一個普通反相放大器，貢獻 -(Rb/Ra)V1。再把 V1 殺掉：+ 輸入變成一個分壓器，給出 V2 times Rb/(Ra+Rb)，而一個增益 (1 + Rb/Ra) 的非反相放大器把它抬起來，算出來剛好是 +(Rb/Ra)V2。把兩者相加：Vout = (Rb/Ra)(V2 - V1)。共有的部分抵消，只有差存活下來，被比值 Rb/Ra 放大。

一個算過的例子能看出它為何這麼有用。選 Ra = 10 kΩ、Rb = 100 kΩ，於是差動增益是 Rb/Ra = 10。假設一座電橋感測器給出 V1 = 2.00 V、V2 = 2.05 V——一個 50 mV 的差，騎在 2 V 的共同電位上。輸出是 10 times (2.05 - 2.00) = 0.5 V，而兩個輸入共有的那 2 V，理想上被完全拒斥。你把一個微小的 50 mV 訊號，從一個 2 V 的基座底下拔了出來，變成舒舒服服的半伏特。這種無視共同電位的本領，叫做共模拒斥。

當匹配開始要緊：CMRR 與儀表放大器

現在來談誠實的部分。那種完美的抵消，只在兩組 Ra/Rb 比值完全相等時才會發生。現實裡電阻有容差，任何不匹配都會讓一小片共同電位漏到輸出，在那裡偽裝成訊號。我們用共模拒斥比（CMRR）來衡量它：放大器對待「差」比對待「共同部分」好上多少。用一般的 1% 電阻，一個簡單的四電阻減法器常常只能做到幾百倍——大約 45 到 50 dB——的 CMRR。粗略的工作這樣夠用，但若要更好，你就得用緊密匹配的電阻（或一顆已在晶片上修整好的精密零件）。

還有第二個缺陷：普通減法器的兩個輸入，有著不同、且相當低的輸入電阻（一個輸入透過 Ra 餵進虛接地，另一個餵進分壓器），所以它們對兩條感測器線造成的負載不一樣——當訊號源不夠硬挺時，這本身就會毀掉 CMRR。經典的解法是儀表放大器：在每一個輸入前頭各栓上一個高阻抗緩衝器（用你在第 3 篇見過的非反相放大器那類非反相級搭成），讓每條感測器線都看到近乎無限的輸入電阻，再讓它們去餵一個匹配好的差動放大器。接著由單單一顆電阻設定增益，兩個輸入對稱，CMRR 可達 100 dB 以上。它是電橋、熱電偶與生醫電極的首選前端。

積木式的思維，與沒有回授的那顆晶片

留意貫穿整個這一階段的規律。反相放大器、緩衝器、加法器、減法器——它們全都是同樣的兩條黃金法則，套用在虛接地周圍不同的元件排列上。它們是樂高積木：用加法器來混合與縮放、用差動放大器拒斥共同偏移、用緩衝器擋住前一級對後一級的負載。你把它們拼成一條訊號鏈，每一級做一件乾淨的工作。而積木還沒收尾——把回授電阻換成一顆電容，同一套節點算術就給你一個積分器（以及它的鏡像，微分器），那是第 5 篇的主題。

決定運算：你是要混合／縮放好幾個訊號（加法器），還是要抽出兩者之間的差（減法器）？這就選定了架構。
用比值設定增益。加法器是 Vout = -Rf x sum(Vn/Rn)；減法器是增益 = Rb/Ra。把輸入電阻挑在幾 kΩ 到數十 kΩ 的範圍，這樣既不會壓垮訊號源、也不會招來雜訊，再依你需要的增益決定回授電阻的大小。
把需要匹配的電阻匹配好。減法器的 CMRR 全繫於兩組 Ra/Rb 配對有多吻合——若你需要真正的拒斥，就用 0.1% 的零件或修整過的電阻陣列。
檢查輸出擺幅與訊號源阻抗。確認增益 times 最大輸入仍落在電源軌之內（否則會削平），而若一個嬌弱的訊號源承受不了輸入端的負載，就在前面擺一個緩衝器或一顆儀表放大器。