先快速複習，再拉一條新線
上一篇把運算放大器介紹成一個高增益的差動放大器：它盯著兩個輸入（+ 與 -）之間那微小的差，再乘上一個巨大的開迴路增益，常常是十萬倍以上。光是這樣幾乎沒什麼用——一丁點差就會把輸出甩到電源軌上。馴服它的訣竅是負回授：把一部分輸出送回反相（-）輸入，就像一台恆溫器，不停把房間輕推回設定溫度。
有了這個回授，理想運算放大器的兩條黃金法則就成立了：（1）沒有電流流進任一輸入——它們是無限高的阻抗，是完美的傾聽者，什麼都不抽取；以及（2）輸出會做任何必要的事，好讓兩個輸入維持在同一個電壓。法則 2 不是魔法——它只是恆溫器在做本分。若 V- 漂到比 V+ 低，巨大的增益就把輸出往上頂；那透過回授線把 V- 推回去，直到兩者的差再次基本為零。把這兩條法則握在手裡；底下的一切，不過是繞著它們記帳。
虛接地：被維持在零、卻什麼都不抽的節點
新動作只有一個。把非反相（+）輸入直接接到地（0 V）。現在套用黃金法則。法則 2 說運算放大器會出力讓 V- 等於 V+，而 V+ 是 0 V——於是負輸入也被拽到 0 V。它並沒有接線到地；是運算放大器透過回授把它維持在那裡。這個近乎神奇的節點，就是虛接地：它像真正的地一樣坐在 0 V，但因為法則 1，那裡其實沒有電流真的流進輸入腳。
把運算放大器想成一位不知疲倦的管理員，他唯一的工作就是讓兩個水位保持一致。你把其中一個水位固定在地線；管理員便瘋狂地把輸出上下抽動，好讓另一個水位永不偏離它。從外面看，第二個節點就像紮實的地——任何接上去的東西都看到 0 V——但它自己安靜地不收任何電流。這就是輸入之間的虛短路：兩端零電壓，卻沒有電流穿過。那個矛盾（看起來短路、卻沒有電流）正是運算放大器電路為何如此好分析的原因。
推導反相放大器：增益 = -Rf / Rin
現在來搭反相放大器。把 + 輸入接地。讓訊號透過一顆電阻 Rin 進到 - 輸入。再從 - 輸入拉一顆回授電阻 Rf 回到輸出。這個 - 輸入就是匯流節點（summing node）——而我們剛學到它是個虛接地，被釘在 0 V。靠這一個事實，整個分析只剩兩行算術。
Rin Rf
Vin o--[====]----+----[====]----o Vout
|
| (-) summing node = virtual ground, 0 V
|\
| >-------------o Vout
|/
| (+)
GND
Iin = Vin / Rin flows in through Rin
No current into (-) -> the SAME current flows on through Rf
Vout = 0 - Iin x Rf = -(Vin/Rin) x Rf
Gain = Vout / Vin = -Rf / Rin跟著電流走。Rin 的左端在 Vin、右端在 0 V（虛接地），所以由歐姆定律，流過它的電流是 Iin = Vin / Rin。法則 1 說這電流一點都不能拐進運算放大器的輸入——所以它必須原封不動繼續流過 Rf。Rf 的左端在 0 V，因此它的右端（也就是輸出）必須是 Vout = 0 - Iin times Rf。代入後輸入就消掉了：Vout = -(Vin / Rin) times Rf，得到那個著名的閉迴路增益 -Rf / Rin。那個負號就是「反相」的由來：正的輸入給出負的輸出，上下翻轉。
替它套上數字。選 Rin = 10 kΩ、Rf = 100 kΩ，於是增益是 -100/10 = -10。施加 Vin = +0.5 V。輸入電流是 Iin = 0.5 V / 10 kΩ = 50 uA。同樣這 50 uA 流過 Rf，而 50 uA times 100 kΩ = 5 V，所以 Vout = -5 V。半伏特進去，變成負五伏特出來——恰好大十倍、且翻成負的。注意整個計算裡，我們一次也沒用到運算放大器的開迴路增益；說話的全是那兩顆電阻。
一步步設計一個出來
假設一個感測器給出的訊號最高擺到 0.2 V，而後級想看到最高 2 V——而且你不介意被反相（或者你會在第二級把它翻回來）。你需要約 -10 的增益。配方如下。
- 依訊號源的需求挑輸入電阻。訊號源必須去驅動 Rin，所以 Rin 就是放大器的輸入電阻。太小會把訊號源拉垮；太大則雜散電流與雜訊會滲進來。幾 kΩ 到數十 kΩ 是舒適的中間地帶——選 Rin = 10 kΩ。
- 依你要的增益挑回授電阻。增益 = -Rf/Rin，而你要的大小是 10，所以 Rf = 10 times Rin = 100 kΩ。改要增益 -4.7？Rf = 4.7 times 10 kΩ = 47 kΩ。整個增益就住在這一個比值裡。
- 檢查輸出擺幅是否合理。輸入峰值是 0.2 V，所以輸出峰值是 0.2 times 10 = 2 V——舒舒服服落在典型電源之內，很好。若增益 times 輸入峰值超過了運算放大器能擺到的範圍，輸出就會在電源軌處被削成平頂；那時你得降低增益或提高電源。
- 在 + 輸入加一顆小小的偏壓平衡電阻（可選，但乾淨）。別把 + 直接接地，而是透過一顆等於 Rin 並聯 Rf 的電阻（這裡約 9.1 kΩ）接地。在真實的運算放大器上，兩個輸入都會抽取一點偏壓電流；讓每個輸入看到的電阻相匹配，能抵消掉大部分它本來會造成的偏移。理想理論不理它；好的實務不會。
這場革命：增益來自比值，與這家族的驚鴻一瞥
退一步看看剛剛發生了什麼。真實運算放大器的開迴路增益巨大卻邋遢——它在不同零件間變動極大、隨溫度漂移、在高頻時下垂。然而我們放大器的增益算出來恰恰是 -Rf/Rin，只取決於兩顆電阻。負回授把那狂野、信不過的開迴路增益拿去交換，換來一個精確、穩定、可預測的增益，由你能買到 1% 或更好精度的元件來設定。這個交換——犧牲你多到用不完的原始增益，去買你真正需要的精度——正是整個類比電子學的核心思想。
同一套虛接地記帳法，解鎖了一整個家族，接下來的指南會去探訪。把輸入改接到 + 腳，你就得到非反相放大器，增益 1 + Rf/Rin（所以 Rf = 90 kΩ 配 Rin = 10 kΩ 給出 1 + 90/10 = 10，這次是正的）——那是第 3 篇，連同它的極端情形單位增益緩衝器。把好幾顆輸入電阻接到同一個虛接地，它們的電流相加，就給出加法放大器（一個混音器）；一對匹配的分壓器則給出做減法的差動放大器——那是第 4 篇。把 Rf 換成一顆電容，同一套節點算術就產出積分器與它的鏡像微分器——那是第 5 篇。
誠實的界線，與沒有回授的運算放大器
虛接地的好壞，取決於迴路。運算放大器能把 V- 維持在 0 V，只在它還有餘裕的增益、又來得及反應的時候。要求太快，你會撞上轉換率與頻寬的限制（那是後面階段的主題）；要求一個超過電源軌的輸出，它就直接削平。而虛接地是「虛」的、不是完美的：它其實偏離零一根頭髮，大約是 Vout 除以開迴路增益——當迴路增益很大時是幾微伏，但不會剛好是零。把 -Rf/Rin 當成一個極好的近似，準到你的電阻與運算放大器所允許的精度，而不是一條打不破的鐵律。
還有一個專屬於這個架構的誠實缺點：反相放大器的輸入電阻就只是 Rin，因為訊號源直直望進一顆遠端是虛接地的電阻。一個 10 kΩ 的輸入，可能把一個嬌弱的感測器壓得太重。這正是下一篇那個非反相放大器存在的理由——它的輸入接到 + 腳，那裡基本上什麼都不抽，給出一個巨大的輸入電阻。每一種架構都是一個刻意的取捨；懂得這個取捨，就是在做設計。