認識運算放大器與黃金法則

一個被放大得荒謬地用力的差值

運算放大器（op-amp）的本質，是把一件事做到極端：它盯著自己兩個輸入之間的差值，再把那個微小的差值乘上一個巨大的數字。這兩個輸入是非反相輸入（標 +）與反相輸入（標 -），規則很單純：Vout = A times（V+ - V-）。你在上一階其實已見過它的種子——由兩顆匹配電晶體組成、把一個輸入減去另一個的差動對。運算放大器就是那個概念被收尾並打磨過的成品：一整個多級放大器烘焙進一顆晶片裡。

那個乘數 A——也就是開迴路增益——有多大？大得荒謬：常常是十萬到一百萬以上。聽起來很美好，直到你動手算一算。若 A = 200,000、電源是 15 V，那麼輸入差值只要達到 15 / 200,000 = 75 微伏，輸出就撞上它的極限（電軌）了。一絲氣息般的差值——一點 0.1 mV 的雜訊——就把輸出狠狠釘死在某一條電軌上。生的運算放大器是個沒救的神經質東西：你沒辦法單靠它本身做出一個乾淨的、增益為 10 的放大器。

兩條黃金法則

為了馴服那份神經質，我們先把這個零件理想化。理想運算放大器有三項完美性質：無窮大的開迴路增益、無窮大的輸入電阻（所以輸入完全不抽取電流），以及零輸出電阻（所以輸出是一個完美的電壓源，不受它的負載干擾）。真實晶片只是逼近這些性質，但逼近得如此之好，以致於先用理想模型設計、之後再檢查那些微小修正，正是專業人士的工作方式。

從那個理想模型，掉出了兩條黃金法則——這兩句話讓你幾乎能在腦中分析每一個運算放大器電路。法則一：沒有電流流進任一輸入。（無窮大的輸入電阻意味著輸入是完美的旁觀者。）法則二：輸出會盡其所能，把兩個輸入驅動到相同的電壓，V+ = V-。第二條感覺像魔法，所以請想像一台負回授恆溫器：它盯著房間，永遠輕推著暖氣，好讓實際溫度與旋鈕上的設定相符。運算放大器盯著自己的兩個輸入，永遠輕推著它的輸出，好讓兩者相符。

法則瞬間搭出的三個電路

看著法則在最重要的電路上把所有的活兒都幹完——那就是反相放大器。把 + 輸入接到接地（0 V），讓訊號 Vin 經過一個輸入電阻 Rin 餵進 - 輸入，再從輸出跨一個回授電阻 Rf 回到那同一個 - 輸入。下一篇指南專講這個電路；在這裡，先把推導走一遍，好讓你感受它有多麼機械化。

找出 - 輸入的電壓。+ 輸入在 0 V，所以由法則二，輸出也把 - 輸入驅動到 0 V——即使沒有任何導線把它接到地。這就是著名的虛接地：一個純粹靠運算放大器的努力、而非靠真實連接，被維持在 0 V 的節點。
找出流過 Rin 的電流。它從 Vin 流向虛接地（0 V），所以由歐姆定律，I =（Vin - 0）/ Rin = Vin / Rin。
把那道電流導入 Rf。由法則一，它一點也不會漏進 - 輸入，所以每一分都必須繼續經 Rf 流向輸出。同一個 I 流過串聯的兩個電阻。
讀出輸出。從虛接地（0 V）跨過 Rf，輸出位在 Vout = 0 - I times Rf = -(Vin / Rin) times Rf。所以增益是 Vout / Vin = -Rf / Rin。取 Rin = 10 k、Rf = 100 k，增益就是 -100/10 = -10：輸入 0.2 V，輸出 -2.0 V。那個負號只是說輸出相對於輸入是上下顛倒的。

改把訊號送到 + 輸入，你就得到非反相放大器，它的增益是 1 + Rf/Rin，永遠為正（輸出方向正立）。取 Rf = 90 k、Rin = 10 k，增益就是 1 + 90/10 = 10。把 Rf 縮成零（一段純導線）、把 Rin 變成無窮大（拿掉它），增益就剛好變成 1：那就是單位增益緩衝器，它的輸出單純複製它的輸入。增益為 1 聽起來沒用，直到你想起運算放大器的輸入不抽電流、輸出又很硬挺——所以緩衝器是一個完美的中間人，就像挑一條水管，既不掐住涓涓的源頭、也不餓著口渴的負載。它正是你在直流那幾階遇過的負載效應問題的經典解法。

同樣兩條法則變出更多積木

虛接地是一份不斷給予的禮物。把好幾個訊號、各自經過自己的電阻，帶進那單一個虛接地節點，你就有了一個加法放大器。由於該節點堅定地停在 0 V，每個輸入都各自獨立地推送自己的電流 Vk/Rk、互不相干；法則一迫使它們全部匯入 Rf，於是 Vout = -(Rf/R1 times V1 + Rf/R2 times V2 + ...)。取 Rf = R1 = R2 = 10 k、V1 = 1 V、V2 = 0.5 V，輸出就是 -(1 + 0.5) = -1.5 V。這簡直就是一台混音器：許多來源各帶自己的音量旋鈕被加總，而沒有一個感覺得到其他的存在。

在每個輸入各放一個訊號、經過一組匹配的四個電阻，你就得到差動放大器（減法器）：它的輸出正比於 V+ - V-，而任何兩個輸入共有的電壓都會被抵消掉。最後這個特質很珍貴——它能排除那些等量地騎在一對感測器導線上的交流哼聲與雜訊。把幾顆運算放大器疊起來做同一件事，換取巨大且易於設定的增益與近乎完美的排除能力，你就有了儀表放大器，幾乎每一種精密量測的前端。

現在把回授電阻換成電容，這個電路就開始做微積分了。把 Rf 換成一個跨在反相輸入上的電容，穩定的輸入電流便以固定速率為它充電：積分器輸出 Vout = -(1/RC) times Vin 的累計積分——對一個固定輸入而言是一道完美的斜坡，就像虛接地耐心地把一個水桶注滿。改把電容放在輸入端，你就得到微分器，它的輸出追蹤輸入變化得多快，-RC times dVin/dt。本階第 5 篇會認真地回頭講這兩者。

  CIRCUIT             where the signal enters        output  Vout
  ------------------  ----------------------------  --------------------------
  inverting amp       Vin -> Rin -> (-) node        -(Rf/Rin) times Vin
  non-inverting amp   Vin -> (+) input              (1 + Rf/Rin) times Vin
  unity buffer        Vin -> (+),  out tied to (-)  +1 times Vin   (a copy)
  summing amp         V1,V2 -> R1,R2 -> (-) node    -(Rf/R1 V1 + Rf/R2 V2)
  difference amp      V- on (-), V+ on (+), 4 R's   (V+ - V-)   matched R's
  integrator          Rin -> (-),  C as feedback    -(1/RC) integral of Vin dt
  differentiator      C -> (-),    Rf as feedback   -RC times dVin/dt

  In EVERY row: (+) and (-) are held equal, and no current enters either input.

整個階段濃縮成一張卡。每個電路不過是把那兩條黃金法則，套用到同一顆晶片周圍、不同的電阻與電容排列上。

這場革命，與誠實的附帶條款

退一步，注意剛剛發生了什麼。在那每一個電路裡，增益都由兩個電阻的比值決定——而運算放大器自己那龐大又草率的開迴路增益，從答案裡徹底消失了。這就是那場革命。上一階你想方設法、不讓電晶體大幅變動的 beta 來決定增益；在這裡，負回授把運算放大器那巨大卻不可靠的增益拿去交換，換來一個小小的、穩如磐石的增益，由你用兩個便宜又精密的電阻撥定。回授把生猛的力量轉換成精準——這是整個類比電子學裡最深刻的概念。

但要誠實面對黃金法則悄悄假設了什麼。它們只在有負回授時成立，而且只在晶片真實的極限之內成立。輸出無法擺動超過電源軌。它無法變化得比迴轉率更快（一顆 0.5 V/us 的零件，根本無法在少於 10 us 內做出一個乾淨的 5 V 階躍）。而增益是透過增益頻寬積向頻寬借來的：一顆 1 MHz 的零件若設為增益 10，到 100 kHz 增益就用罄了。若在回授迴路裡塞進太多相位移，恆溫器就會過衝，接著對它的過衝再過衝——放大器不再安定下來，反而振盪。讓迴路保持冷靜，正是放大器穩定性整個主題的內容，那是「真實運算放大器」那一階接著要處理的。