一個會聽頻率的分壓器
濾波器所立基的那唯一一個概念，你早就握在手裡了。在交流那一階你看到，電容器不是用固定的電阻去抵抗訊號；它用的是電抗，一種隨頻率上升而縮小的阻礙。電容器對快擺動幾乎是一扇敞開的門，對慢擺動幾乎是一道磚牆。現在把這個對頻率敏感的元件，放進你最熟悉的電路——一個分壓器——奇妙的事就發生了：這個分壓器不再對每個訊號一視同仁地切分。它依頻率切分。
想像上方一個電阻、下方一個電容器，輸出取自電容器兩端。在低頻時，電容器的電抗巨大，於是它攫走幾乎全部的電壓，輸出是滿格的。在高頻時，它的電抗已塌縮到幾乎為零，於是它幾乎留不住什麼，輸出便枯萎而去。把這兩個元件對調——電容器在上、電阻在下——行為就翻轉了：低頻被扼殺，高頻揚帆而過。這就是全部的祕密。濾波器不過是一個兩臂對頻率意見相左的分壓器。
這個小分壓器有一件事不做：放大。一個簡單的被動濾波器，最好的情況也只是放行它喜歡的訊號、衰減其餘的——與其把它想成擴音器，不如想成一個門房，他從不把音樂變大聲，只決定哪些頻率能進來。（主動濾波器能用運算放大器加上增益，但底層的篩選依然是純粹的衰減，這個分野我們留到第 2 篇。）
濾波器能呈現的四種形狀
每一個濾波器，無論多花俏，都把頻率軸分成它保留的區域與它丟棄的區域。要劃這條線，剛好有四種有用的方式。低通保留某選定頻率以下的一切、排拒其上的——就是我們剛搭的 RC 分壓器。高通做鏡像相反：高頻通過、低頻出局。帶通只保留中間的一段、排拒兩個遠端，像一台調到某個電台的收音機。而帶阻是它的反面，在一個原本敞開的響應上打出一個窄窄的洞。
RESPONSE passes ... blocks ... a job it does
----------- ----------------------- --------------------- -----------------------
low-pass below the cutoff above the cutoff smooth a DAC, anti-alias
high-pass above the cutoff below the cutoff block DC offset / rumble
band-pass a band in the middle both far ends tune one radio channel
band-stop both far ends a narrow band kill 50/60 Hz mains hum
amplitude
^ low-pass high-pass band-pass band-stop (notch)
| ----\ /---- /--\ ----\ /----
| \ / / \ \/
+------ f --> ---- f --> ---- f --> ---- f -->那個窄窄的帶阻有自己的綽號——陷波（notch）——它靠著除掉某一個特定的害蟲來賺取存在價值，最有名的就是電網潑灑進敏感量測裡的 50 Hz 或 60 Hz 哼聲。帶通與陷波其實只是團隊合作：把一個低通與一個高通疊起來，它們通帶重疊之處就得到帶通；它們阻帶重疊之處就得到陷波。你早已理解的兩種形狀，組合出另外兩種。
通帶、阻帶，與 -3 dB 截止
現在來講語彙，因為玩濾波器的人說的是一種精確的方言。通帶是濾波器以大致滿格強度放行的那一段頻率。阻帶是它把訊號壓到幾近於無的地方。兩者之間沒有一道突兀的牆，而是一條傾斜的過渡帶——這正是這門主題的第一條誠實真相：真實的濾波器不會在單一頻率上從開切到關。它們是漸隱的。
那麼通帶究竟在哪裡結束？依照舉世通用的慣例，在截止頻率（又叫轉角頻率）：輸出已跌到其通帶值 0.707 倍的那一點，也就是分貝刻度上剛好的 -3 dB。為什麼是這個古怪而精確的數字？因為 0.707 是 1 除以根號 2，而功率正比於電壓平方，所以電壓的 0.707 倍就是一半的功率。截止點就是半功率點：濾波器恰好放行訊號 50% 功率的那個頻率。在 RC 低通裡，它正是電容器的電抗等於電阻之處，於是分壓器的兩臂勢均力敵。
對那個 RC 低通而言，截止頻率位在 f = 1 / (2 times pi times R times C)。取 R = 1.6 k、C = 100 nF，你得到 f = 1 / (2 times pi times 1600 times 100 times 10^-9)，算出來約 995 Hz——就叫它 1 kHz 吧。1 kHz 以下，訊號幾乎原封不動地通過；恰在 1 kHz，它降到 0.707（-3 dB）；其上，它持續滑落而去。設計這個濾波器，其實就是選 R 與 C，好讓這個轉角落在你要的位置。
- 決定你需要的截止頻率。比方說你想放行人聲、修掉嘶嘶聲，於是把轉角放在 f = 1 kHz。
- 在合理範圍內選一個電容（約 1 nF 到 1 uF——太小則雜散電容會喧賓奪主，太大則電阻得很小）。選 C = 100 nF。
- 解出 R：R = 1 / (2 times pi times f times C) = 1 / (2 times pi times 1000 times 100 times 10^-9)，約 1592 ohm，所以拿一顆標準的 1.6 k。
- 檢查負載。驅動濾波器的東西應該比 1.6 k 硬挺得多、被它餵的東西阻抗高得多，否則轉角會偏移。當這辦不到時，一個緩衝器（上一階的運算放大器跟隨器）就能解決。
滾降、階數，與「沒有磚牆」的真相
過了截止點，響應掉得多快？那道斜率就是滾降，是任何濾波器的頭條數字。樸素的 RC 低通以每十倍頻 20 dB 的速率滾降——也就是頻率每上升十倍，輸出便掉 20 dB、振幅縮為十分之一（同一斜率也可說成每八度 6 dB，每加倍一次）。所以在我們 1 kHz 轉角之上一個十倍頻、也就是 10 kHz 處，訊號約降 20 dB、剩十分之一大小；到 100 kHz，降 40 dB、剩百分之一。穩定，但溫和。
溫和往往不夠。要得到更陡的懸崖，你就提高濾波器的階數：每多一階，斜率就再添每十倍頻 20 dB。一階濾波器（一個 R 與一個 C）給 20 dB/decade；二階給 40；四階給俐落的 80 dB/decade。你藉由串接簡單的段落來搭出高階，就像疊鏡片去銳化影像——而實務上的主力段落，圍繞著運算放大器搭起來的二階 Sallen-Key，正是第 3 篇的主題。
走到二階，會解鎖一個新旋鈕：Q，品質因數，它決定響應恰好在轉角處的行為。它的另一面是阻尼，兩者此消彼長——高 Q 意味著輕阻尼。低 Q 的段落平順地滑進阻帶；高 Q 的則在截止附近尖尖地隆起、再俯衝而下，正是你在 RLC 迴路遇過的那種共振鳴響。Q 選太高，濾波器對快訊號會過衝並振鈴；太低，轉角又會提早下垂。就是這一個旋鈕，分出了第 4 篇要鋪陳的那些著名濾波器「口味」——巴特沃斯、柴比雪夫、貝索。
濾波器在哪裡賺取存在價值
凡是電路需要在乎哪些頻率能存活之處，都有濾波器。在音訊裡，分音器就是一個低通與一個高通切開音樂，讓低音單體拿到低音、高音單體拿到高音；放大器上的音色與低音旋鈕，不過是可調的濾波器。在電源供應器裡，你先前見過的「蓄水電容加電阻」平滑，就是一個扼殺漣波的低通。而幾乎在任何儀器裡，都有一個陷波器隨時待命，趁微弱訊號被淹沒前掐死電源哼聲。
兩件直接擦著數位世界邊緣的工作，會在這座階梯的後段登場。在任何訊號被數位化之前，一個抗混疊濾波器——一個低通——必須剝除取樣率一半以上的一切，因為任何更高的頻率都會折返、偽裝成一個假的低頻（這就是混疊，而那條一半的界線就是你會在資料轉換器那幾階遇到的奈奎斯特線）。在一個數位訊號被轉回電壓之後，數位類比轉換器需要一個「重建」低通，把它鋸齒狀的階梯輸出平滑成乾淨的波形。同一個謙卑的低通，兩件不可或缺的工作。