戴維寧、諾頓，以及用等效電路思考

一個電源加一顆電阻，就藏在眼前

在第 2 篇你學到：任何一團電阻，從外面看都像一顆電阻——它的等效電阻。現在來到這個想法的成人版，而它是整個電子學裡最有用的把戲之一。戴維寧定理（戴維寧定理）說：任何由電壓源、電流源與電阻組成、只有兩個端子的網路——裡面無論打了多少結——從那兩個端子看出去，其行為都恰好等同於一個電壓源 V_th 串聯一顆電阻 R_th。外界做任何事都分辨不出兩者的差別。

想像一個封死的金屬盒，伸出兩個端子。裡面可能是一顆電池，也可能是十幾個電源加五十顆電阻。你不准打開它，只能用電表與測試負載去戳那兩個端子。戴維寧的承諾是：你所能量到的一切，都被兩個數字完整捕捉——開路電壓 V_th（什麼都不接時讀到的值）與戴維寧電阻 R_th（拉電流時這個盒子有多硬挺或多軟塌）。這就是為什麼我們說一顆真實電池、一台桌上型電源、或一個放大器的輸出，各自都帶著內部的電源內阻——每個真實電源骨子裡都是一個戴維寧盒。

求出戴維寧等效

這個配方只有兩個未知數，所以你只需要兩次量測（或兩次計算）。V_th 是把負載移除後、開路端子上的電壓——沒有東西在拉電流，所以那是電路靜止時的樣子。R_th 則是：假想你伸手進去、把每一個獨立電源都關掉，再從那同樣兩個端子看回去所量到的電阻——把每個電壓源換成一條導線（短路，因為理想電壓源容許 0 V 變化），把每個電流源換成一道缺口（開路，因為理想電流源容許 0 A）。剩下的就是純電阻，那你早就會化簡了。

拔掉負載，標出兩個端子 A 與 B——它們界定了「外界」看到的是什麼。
求 V_th，即 A-B 之間的開路電壓，用任何合適的工具：分壓、KVL，或節點分析。
求 R_th：關掉每一個獨立電源（電壓源變短路、電流源變開路），再化簡從 A-B 看進去剩下的電阻網路。
作為交叉檢查，改成把 A-B 短路，求短路電流 I_sc，再用 R_th = V_th / I_sc——兩種方法必須一致。
把整個盒子重畫成 V_th 串聯 R_th，接回真正的負載，再解這個如今簡單到不行的串聯電路。

用數字走一遍。一個 12 V 電源推動一顆 4 k 電阻（叫它 R1），再從那個節點接一顆 2 k 電阻（R2）回到地；負載就掛在中間那個節點。把負載移除後，沒有電流流出，所以 R1 與 R2 構成一個單純的分壓器：V_th = 12 times 2 / (4 + 2) = 4 V。接著把電源歸零——把 12 V 換成一條導線——於是從端子看 R1 與 R2 純粹並聯：R_th = (4 times 2) / (4 + 2) = 8/6 ≈ 1.33 k。整個左半邊電路現在就是「4 V 後面藏著 1.33 k」，你栓上任何負載，都只是一行分壓計算。

諾頓：同一個盒子，從電流面看出去

同一個盒子還有第二種同樣成立的畫法。諾頓定理（諾頓定理）說它也恰好等同於一個電流源 I_n 與一顆電阻 R_th 並聯。戴維寧是用一個電壓推、後面串著電阻；諾頓則是注入一股電流，這股電流在自己的並聯電阻與你的負載之間分流。諾頓電流就是這個盒子的短路電流：把端子直接短路，流過的就是 I_n。而電阻 R_th 與戴維寧那顆完全相同——同一個盒子、同樣的內部硬度。

在兩種觀點間轉換只是一行式子，因為兩者必須產生相同的開路電壓與相同的短路電流：V_th = I_n times R_th。在我們的例子裡 I_n = V_th / R_th = 4 V / 1.33 k = 3 mA，所以這個盒子既可說成「4 V 後面藏 1.33 k」，也可說成「3 mA 跨在 1.33 k 上」。哪個讓計算變簡單就用哪個：串聯的電壓源偏愛戴維寧形式，而電流源與並聯分支在諾頓形式下收得更乾淨。這種來回切換叫做電源轉換，是馴服雜亂電路圖時一頭低調的主力。

  THEVENIN form                 NORTON form

      Rth                          A o---+-------+---o A
  A o--/\/\--+                           |       |
            |                          (In)     Rth
         (Vth)                          |       |
            |                       B o---+-------+---o B
  B o--------+

     Vth = In x Rth        In = Vth / Rth        Rth is the SAME
     (open-circuit V)      (short-circuit I)     (sources turned off)

同一個兩端子盒子的兩種畫法。兩邊的 R_th 相同；電源只是在「串聯電壓」與「並聯電流」之間翻面。

疊加原理：一次只看一個電源

當盒子裡有好幾個電源時，要找 V_th，用一個叫做疊加原理的各個擊破想法會輕鬆許多。在任何線性電路中，眾多電源一起作用所造成的反應（某處的電壓或電流），等於每個電源單獨作用所造成反應的總和。用法是：把所有電源關掉、只留一個——電壓源變短路、電流源變開路，跟求 R_th 時一模一樣——解那個簡單電路，再對每個電源重複，最後把各部分答案加起來。

快速嘗一口：假設在某個輸出節點，一顆 6 V 電池單獨作用會建立 2 V，另一顆 3 V 電池單獨作用會在那裡再加 1 V。兩顆都接上時，疊加原理說輸出就是 2 + 1 = 3 V——不需要解聯立方程式。誠實的附註：疊加只處理電源，絕不處理非線性的量。你不能疊加功率，因為功率取決於電壓的平方（或電流的平方），而平方不是那樣相加的。先求出總電壓或總電流，最後再一次算功率。

負載效應，以及最大功率的誠實真相

現在來收成果。一旦把一級電路化簡成 V_th 後面藏 R_th，接上負載 R_L 就只是一個分壓器，你還能當場看見 負載效應（負載效應）。負載拿到的是 V_th times R_L / (R_th + R_L)，所以遠大於 R_th 的負載幾乎不會讓電壓塌陷，而與 R_th 相當的負載則會搶走一大份。那個 R_th 正是這一級的輸出電阻，而 R_L 是下一級的輸入電阻。把各區塊串接起來的全部工藝，就是這場「電源內阻在推、輸入電阻在拉」的對話。

這導向一個著名卻常被誤解的結果——最大功率轉移定理（最大功率轉移）。當 R_L 恰好等於 R_th 時，負載從戴維寧電源汲取的功率最大——太小則電壓崩塌、太大則幾乎沒有電流；甜蜜點就在這個匹配。在我們的盒子裡（V_th = 4 V、R_th = 1.33 k），匹配的 1.33 k 負載上有 2 V，吸收 V^2/R_L = 2^2 / 1330 ≈ 3 mW，這正等於峰值公式 P_max = V_th^2 / (4 R_th) = 16 / (4 times 1330) ≈ 3 mW。

退一步，看看你在這整個階段得到了什麼。歐姆定律給了你一顆電阻；串聯與並聯讓你把許多顆摺成一顆；分壓與克希荷夫定律讓你解開任何電阻網；而戴維寧與諾頓讓你把一整個子電路藏在單一電源加單一電阻之後。最後這一招，正是工程師串接各級時真正的思考方式——每個區塊不過是一個電源內阻在餵下一個區塊的輸入電阻，而等效電路就是那個讓連接變得可預測的乾淨把手。