濾波器是一個會聽頻率的分壓器
上一篇我們發現，電容對交流的阻擋——也就是它的 電抗——並不是一個固定的數。電容的電抗 Xc = 1 /（2 times pi times f times C）會隨頻率 f 升高而縮小，所以對一個快速訊號來說，電容看起來幾乎像短路，對一個緩慢訊號來說卻幾乎像開路。現在把一個電阻和一個電容串聯跨在訊號上，並在它們之間的接點取出電壓。你便做出了一個分壓器——正是直流階段那個分享電壓的把戲——只不過其中一隻腳的阻抗會隨頻率變化。分壓比不再固定，它會隨音高改變。這就是濾波器的全部精神。
把電阻放在上面、電容放在下面接地，輸出則從電容兩端讀取。在低頻時，電容的電抗很大，於是它幾乎獨佔了整個訊號，輸出便幾乎等於輸入——低音直接通過。在高頻時，電容的電抗朝零塌縮，把快速的擺動在抵達輸出之前就短路到地。低頻通過、高頻被分流掉：這就是 低通濾波器。對調哪個元件具有較小的電抗，你就只是改變了哪些頻率勝出而已。
對調兩腳：高通、轉角與相位
現在把兩個零件對調：電容串聯在上、電阻接地在下，輸出從電阻兩端讀取。在低頻時，電容很大的電抗擋住訊號，幾乎沒有東西抵達輸出；在高頻時，電容變成近乎短路，讓訊號通過到電阻。高頻通過、低頻被擋——這就是 高通濾波器。值得注意的是，轉角仍坐落在同一個 f_c = 1 /（2 times pi times R times C）；對調兩腳保留了轉角，只是翻轉了它哪一側能存活。
讓我們放上真實的數字。選 R = 1.6 kΩ、C = 100 nF（也就是 100 times 10^-9 法拉）。那麼 f_c = 1 /（2 times pi times 1600 times 100 times 10^-9）≈ 1 /（1.0 times 10^-3）≈ 1 kHz。當作低通，它讓低音通過、把一千赫茲以上的一切溫和地壓低；當作高通（同樣的零件、對調），它做的恰好相反。設計一階濾波器其實就這麼簡單：選定你想要的轉角，挑一個合理的 R（幾 kΩ 能讓電流很小、又不會大到讓雜散感應變得要緊），再解出 C = 1 /（2 times pi times R times f_c）。
濾波器改變的不只是振幅——它也會移動時序。因為電容的電流領先它的電壓，輸出的正弦波相對於輸入會被推移了相位。深入通帶之內，相移接近零；深入阻帶之中，它逼近 90 度；而恰好在轉角處，它是 45 度，正好是一半的位置。這就是為什麼沒有任何濾波器能同時擁有完全平坦的通帶與瞬間的截止：振幅與相位是綁在一起的，扭動其一就會扭動其二。
分貝：用比例與對數來度量增益
濾波器與放大器跨越巨大的範圍——輸出在這裡也許是輸入的千分之一，在那裡卻是它的一百倍。為了馴服這個範圍，我們用對數刻度來度量比例，這就是 分貝（dB）。對電壓比，dB = 20 times log10(Vout / Vin)；對功率比則是 10 times log10(Pout / Pin)。兩者差一個 2 的因子，是因為功率正比於電壓的平方，而對數把那個平方變成了加倍。可愛的回報是：本來要相乘的各級增益，變成只要把分貝相加。
有幾個神奇的數字值得背下來。比例 0.707 是 -3 dB——而既然 0.707 的平方是 0.5，那恰好是一半的功率，這也是為什麼轉角被稱為「-3 dB 點」。電壓減半是 -6 dB；十分之一是 -20 dB；百分之一是 -40 dB。（當你看到 dBm 時，是同樣的概念，但功率是相對於固定的 1 毫瓦，所以它指稱的是一個絕對位準，而非比例。）對 -3 dB 的意思要誠實：電壓降到 0.707，而不是降到一半——均方根、平均值與峰值是不同的東西，電壓分貝與功率分貝也是。
|Vout/Vin|
(dB)
0 +--------*. passband: flat, ~0 dB
| '.
-3 +.......... o <- corner at f_c (0.707, half power)
| '.
| '. slope = -20 dB / decade
-20 +................ '. <- one decade above f_c
| '. ( = -6 dB / octave )
-40 +....................'.
+----+-------+-------+-------+--> f (log scale)
0.1 f_c f_c 10 f_c 100 f_c把分貝對著對數頻率軸畫出來，你就得到一張 波德圖，這是類比設計中最有用的一張圖。一階 RC 濾波器呈現平坦的通帶、在 f_c 處的一個膝點，過了它之後便是筆直的下墜：它的衰減率是每十倍頻 20 dB（頻率變十倍），或等價地每倍頻程 6 dB（頻率加倍）。妙處在於，你只要用兩條在轉角相交的直線漸近線，就能徒手勾出整條響應曲線——不必計算，只憑直覺。
加上電感：諧振與 Q
電感是電容的對立雙胞胎。它的電抗 XL = 2 times pi times f times L 會隨頻率升高，正是電容那個下降的 Xc 的鏡像。把這兩者放進一個迴路裡，特別的事就發生了：存在一個頻率，在那裡 XL 與 Xc 大小相等、性質相反，於是彼此抵消。能量不再只是消散——它在電感的磁場與電容的電場之間來回盪漾，正是小孩用恰好的節奏盪鞦韆的電學回聲。這就是 諧振。
令 XL = Xc 並求解，得到諧振頻率 f_0 = 1 /（2 times pi times sqrt(L times C)）。當 L = 10 mH、C = 100 nF 時，f_0 = 1 /（2 times pi times sqrt(10 times 10^-3 times 100 times 10^-9)）≈ 5 kHz。在串聯的 R-L-C 迴路裡，兩個電抗在 f_0 互相抵消，只剩下電阻，於是阻抗降到最小、電流達到尖峰——這種選擇性造就了一個偏愛某個頻率的帶通濾波器。（改把 L 與 C 並聯，你就得到對偶：在 f_0 呈現高阻抗的「儲能槽」，反而拒斥那個頻率。）這正是收音機從空氣中拈出單一電台的方式。
這個尖峰有多尖銳？那就是 品質因數 Q——每個週期所儲存能量與所損耗能量之比，等價地 Q = f_0 / 頻寬，其中頻寬是尖峰兩側兩個 -3 dB 點之間的寬度。高 Q 代表又高又窄、非常具選擇性的諧振；低 Q 代表寬而平緩的隆起。若我們這個 5 kHz 電路的 Q = 10，它的頻寬就是 5000 / 10 = 500 Hz。對極限要誠實：真實的 Q 受損耗封頂——線圈導線的電阻、電容的漏電——所以完全尖銳、無損耗的諧振只存在於紙上。
誠實的限制，以及濾波器的真實應用
世上沒有所謂的磚牆式濾波器。一階 RC 以溫和的每十倍頻 20 dB 衰減；想要掉得更快，你就串接更多級、或利用諧振來構築更高階的濾波器——但每多一分陡峭都要付出代價。同時把通帶逼得又平又陡（從巴特沃斯往切比雪夫推），響應裡就會冒出漣波；追求最銳利的振幅截止，相位就會失真，於是有銳利邊緣的脈衝會在時域裡振鈴與拖泥帶水。像貝塞爾這樣的設計，便刻意放棄振幅的銳利，來保住時序的乾淨。工程永遠是在選擇你能與哪一種不完美共處。
這些被動的 R、L、C 濾波器便宜又堅固，但它們在負載抽取電流時會下垂、無法提供增益，而好的電感又笨重又有損耗——這也是為什麼後面的階段會圍繞運算放大器把濾波器重建成主動濾波器。然而最簡單的那種濾波器其實早已無所不在：坐在每顆晶片旁邊的去耦電容，就是一個對地的高通，它把快速的電源雜訊短路掉，同時扮演一個就地的水塔，在晶片一口渴時立刻送上一大口電流，好讓那條長長的供電管路永不下垂。只要記得真實零件並不理想——一個電容自身帶著一點串聯電阻與電感，所以超過某個頻率，它就根本不再表現得像個電容了。