電抗與阻抗

為什麼光靠電阻還不夠

電阻無聊得很可愛：依歐姆定律，它對電流的阻礙就只是 R，不管你推的是穩定的直流、還是每秒擺動上百萬次的正弦波，這個數值都一樣。它根本不在乎電壓變化得多快。但你在這一階稍早遇到的兩個儲能元件——電容與電感——卻幾乎只在乎這件事。它們的全部行為都繫於變化的快慢，透過電容的 I = C times dV/dt，以及電感的 V = L times dI/dt。

因此當你用交流電——一種永遠在變的電壓——去驅動這些元件時，它們阻礙電流的強弱，勢必取決於波擺動得多快，也就是取決於它的頻率。把前幾篇的比喻拿來用。電容是一個會抗拒電壓驟變的小水桶：快速的正弦波還沒怎麼把它填起來就反向了，所以電荷輕鬆地進進出出，它便放了很多通過；慢速或直流的電壓則把它填滿一次後就被擋住。電感則是一個抗拒電流變化的飛輪：它樂得讓穩定的直流電一路滑行，卻會狠狠對抗快速的擺動。換句話說，兩者呈現的阻礙都會隨頻率改變——這就需要一個「電阻」以外的名字了。

電抗：取決於頻率的阻礙

這種取決於頻率的阻礙叫做電抗，記作 X，單位和電阻一樣是歐姆。對電容而言，其容抗為 Xc = 1 / (2 times pi times f times C)；對電感而言，其感抗為 XL = 2 times pi times f times L。其中的 2 times pi times f 就是以每秒弧度計的頻率——也就是你在交流篇遇到的那個波的「轉多快」版本。代入數字：一個 100 nF 的電容在 f = 1 kHz 時，Xc = 1 / (2 times pi times 1000 times 100 times 10^-9) ≈ 1.6 kΩ；一個 10 mH 的電感在同樣的 1 kHz，XL = 2 times pi times 1000 times 0.01 ≈ 63 ohm。

盯著這兩條公式看，兩種相反的個性就跳了出來。容抗隨頻率升高而縮小（f 在分母）：在直流時，f = 0 使 Xc 變成無限大，所以電容擋住直流；在極高頻時 Xc 塌向零，所以它像一段導線般讓交流通過。電感則是恰恰相反的鏡像（f 在分子）：在直流時它的 XL 為零——就是一條普通的導線——而頻率越高，它推回來的力道越強。每位工程師都牢記在心的一句話是：電容擋直流、放高頻；電感放直流、擋高頻。這一個事實，就是你下一篇要搭的每一個濾波器的種子。

相位：電流與電壓步調不一致

電抗還藏著一個電阻沒有的祕密：它會錯開電壓與電流之間的時序。在電阻裡，電壓與電流一起起、一起落，步調完全一致。在電容裡，電流最忙碌的時刻，恰好是電壓變化最快的時候——也就是電壓過零的瞬間，比電壓的尖峰早了四分之一週期。所以電容的電流比它的電壓超前 90 度，也就是四分之一個週期。電感則相反：因為它對抗電流的變化，它的電壓搶先一步，電流落後 90 度。這種時序偏移就是一種 相位移，正是交流篇講過的那個概念，如今由一個元件刻意製造出來。

相量的圖像

要追蹤一堆頻率相同、卻在時間上彼此錯開的正弦波，用三角函數會弄得一團亂。解藥是相量：把每個正弦波畫成一支小箭頭，箭頭的長度是波的振幅，箭頭的角度是它的相位。想像每支箭頭都以頻率 f 一起旋轉；既然它們全以同樣的速率轉，我們乾脆把畫面凍結，只讀出彼此之間的相對角度。一個正弦波於是化為一支固定的箭頭——而把兩個同頻率的正弦波相加，就變成單純的箭頭（向量）相加，不再需要任何三角恆等式。

現在上一節的那些 90 度相位移就化成了幾何。把電阻的電壓畫成與電流同方向——它們同相，所以電阻的貢獻平躺在電流箭頭上。電容或電感的電壓則與電流成直角，正是因為那四分之一週期的超前或落後。於是電阻指向一個方向，而電抗則筆直向上或向下，與它成 90 度。它們不只是兩個可以直接相加的數字；它們住在互相垂直的軸上，而這正是開啟下一個概念的鑰匙。

阻抗：交流版的歐姆定律

把同相的電阻 R 與成 90 度的電抗 X 結合起來，就得到阻抗，記作 Z——電路對交流電所呈現的總阻礙，連同它的時序一併在內。由於 R 與 X 成直角，你要像直角三角形的兩股那樣把它們相加，而不是像普通數字那樣：大小為 |Z| = sqrt(R^2 + X^2)，相位角為 theta = arctan(X / R)。阻抗同時帶有一個大小（它把電流節制了多少）與一個角度（它把時序移了多遠）。它是電阻誠實而完整的推廣。

            o
           /|
          / |
  |Z|    /  |   X  = reactance   (90 deg, energy stored)
        /   |
       / θ  |
      o-----o
        R   = resistance   (in phase, energy burned)

   |Z| = sqrt( R^2 + X^2 )        tan(θ) = X / R

阻抗三角形：電阻與電抗以直角相加，使阻抗同時擁有大小與相位角。

回報是巨大的：有了阻抗在手，歐姆定律又能用了，只是換上相量的裝扮——V = I times Z。電壓的大小等於電流的大小乘上 |Z|，而 Z 的相位角，正是電壓與電流最終錯開的程度。你早已擁有的每一項直流工具——串並聯組合、分壓器、戴維寧等效——只要把單純的電阻換成阻抗，立刻原封不動地搬到交流電上。我們來實際走一個例子。

取一個電阻與電容串聯，R = 1.6 kΩ、C = 100 nF，以 f = 1 kHz 驅動。先求電容的容抗：Xc = 1 / (2 times pi times 1000 times 100 times 10^-9) ≈ 1.6 kΩ。
注意到在這個頻率，R 與 Xc 恰好相等。在三角形上，R 沿著電流指向，Xc 則向下成 90 度（是電容，所以電流超前）。
合成：|Z| = sqrt(R^2 + Xc^2) = sqrt(1600^2 + 1600^2) = 1600 times sqrt(2) ≈ 2.26 kΩ。相位角為 theta = arctan(1600 / 1600) = 45 度。
套用交流版歐姆定律：在這對元件兩端加 1 V 振幅，電流為 |I| = |V| / |Z| = 1 / 2260 ≈ 0.44 mA，且電流比所加電壓超前 45 度。
退一步看：Xc 等於 R 的這個特殊頻率，正是截止頻率 f = 1 / (2 times pi times R times C) ≈ 1 kHz——每一個 RC 濾波器的轉折點，而這恰好就是下一篇的起點。