充電、放電，以及時間常數

為什麼充電需要時間

在第 1 篇你認識了電容器的定義規則 I = C times dV/dt——電流只在它的電壓正在改變時才流動——以及電感的鏡像 V = L times dI/dt。這兩條小小的方程式有個低調卻巨大的後果：在真實電路裡，電容器的電壓沒辦法瞬間跳變，電感的電流也一樣。把你早已熟悉的一個元件——電阻——加進路徑裡，你就得到本篇的全部故事：東西會逐漸安定下來，照著一個由時間常數（時間常數）設定的時鐘。

把水的圖像放在手邊。透過電阻替電容器充電，就像透過一根細管去裝滿一個小小的可充電水桶。在最開始的那一瞬間，桶是空的，所以全部的壓力差把水快速推進去——起始電流就是 I0 = V/R，只由電阻決定。但隨著桶被裝滿，它自己升高的水位會反抗回來，壓力差縮小，流動就慢下來。結果便是一條曲線：一開始爬得很快，接著在逼近滿水時逐漸變平。

時間常數：tau = R times C

有一個數字就替整條曲線的快慢命了名：時間常數 tau = R times C。它真的是一段時間——檢查單位就知道：ohm times farad 算出來就是秒。充電電壓遵循 V_cap(t) = V_supply times (1 - e^(-t/tau))。經過一個 tau，距離滿值的差距縮小了固定的同一比例，1 - e^(-1) = 63%，所以 tau 最好讀成「走完全程的 63% 所需的時間」。等上幾個 tau，基本上就大功告成了。

替它配上數字。取 R = 10 k、C = 100 uF：tau = 10000 times 100 x 10^-6 = 1 秒。所以這個 RC 在一秒內到達電源的 63%，在大約五秒時超過 99%——慢到你可以親眼看著一顆 LED 漸漸亮起。把零件縮小到 R = 1 k、C = 1 uF，tau = 1 ms，快了一千倍。注意是 R times C 的乘積在設定這個時鐘，所以許多不同的零件配對會給出相同的 tau。

  TIME       CHARGING (rising)     DISCHARGING (falling)
  (in tau)   fraction of final     fraction of start
  --------   ------------------    ---------------------
   1 tau          63 %                   37 %
   2 tau          86 %                   14 %
   3 tau          95 %                    5 %
   4 tau          98 %                    2 %
   5 tau          99.3 %                  0.7 %   <- call it "settled"

每一個一階 RC（或 RL）都遵循這同一個形狀——只有 tau 在變。每經過一個 tau，就把剩下的差距再收掉 63%。

對「五個 tau」要誠實。指數曲線在數學上永遠到不了 100%——它會永無止盡地越靠越近，是一條始終碰不到的漸近線。「五個時間常數＝完成」（99.3%）只是個廣為採用的工程慣例；粗略的工作常常在三個 tau（95%）就喊停，而精密的類比數位取樣保持電路也許會等到七個以上，好讓殘餘誤差沉到一個位元以下。這條規則是對「夠好了」的一種選擇，不是自然律。

放電：鏡像

現在把電源拔掉，讓充飽的電容器透過同一顆電阻放空。電壓沿著 V_cap(t) = V_start times e^(-t/tau) 下降，tau 與先前相同。一個時間常數現在代表「往下走了 63%」，剩下 37%。你上一篇儲存的能量 E = 1/2 times C times V^2 並沒有消失——它透過電阻流回外面，化成熱離開，這正是曲線會衰減的原因。

快速算一下，零件相同：一顆充到 9 V 的電容器，R = 10 k、C = 100 uF，所以 tau = 1 s。一秒之後它停在 9 times 0.37 = 3.3 V；再過一秒落到約 1.2 V 附近；到了第五秒，只比零高出一絲。充電與放電是同一條曲線從兩端看過去，都由 R times C 這一個乘積掌管。

找出電壓（或電流）正在奔向的最終值——若你永遠等下去，它最後會停在哪裡。
找出起始值——就在開關切換前那一瞬間它是多少（電容器的電壓與電感的電流會延續過去，它們不能跳變）。
算出時間常數：電容器是 tau = R times C，電感是 tau = L/R。
畫一條平滑的指數曲線，從起始值到最終值，每經過一個 tau 就收掉剩餘差距的 63%。
約莫五個 tau 之後就當它安定了——同一套配方能處理上升、下降，或任何單一的開關事件。

電感的時鐘：tau = L / R

電感把同一個故事角色對調來講。它抗拒突然的電流變化——就是第 1 篇的飛輪——所以當你把電源切到一個線圈加電阻上，電流不會跳到它的最終值 V/R，而是沿著 I(t) = I_final times (1 - e^(-t/tau)) 上升。轉折在公式：這裡 tau = L / R，是相除，不是相乘。這把直覺反了過來——越大的電阻讓 RL 越快安定，因為電阻正是燒掉所儲存磁能的東西，電阻越大就把它抽乾得越早。當 L = 100 mH（電感量）、R = 100 ohm 時，tau = 0.1 / 100 = 1 ms。

電感還藏著一個值得現在就認識的真實危險。因為 V = L times dI/dt，若你突然切斷線圈的電流——把繼電器或馬達上的開關打開——dI/dt 會大得驚人，電感為了維持電流而甩出一個巨大的反向電壓尖峰。那個尖峰可能在開關接點間打火，或擊穿電晶體。標準的解法是在線圈兩端放一顆飛輪二極體，給被困住的電流一條溫和的迴路慢慢消退，而不是一堵牆。

時間常數會在哪裡現身

一旦你看見了 tau，就會到處看見它。一顆 555 計時器靠一個 RC 充電到固定的門檻值來設定延遲——選好 R 與 C，你就選好了秒數。一個會彈跳的開關，可以靠刻意放慢一個 RC 來撫平，讓接點快速的抖動模糊成一道乾淨的邊緣。而一顆去耦電容，就是放在飢渴晶片旁的本地水塔：當晶片突然大口吸取電流，旁邊的電容用極小的 tau 立刻供應它，於是那條長長的供電走線永遠不會塌陷。

最大的回報是一道通往前方的橋。在這裡設定時間的那個 RC，同樣也掌管頻率。第 3 篇帶來交流的正弦波；第 4 篇是電抗與阻抗；第 5 篇則蓋起 RC 低通濾波器，它的截止頻率是 f_c = 1 / (2 times pi times R times C) = 1 / (2 times pi times tau)——根本就是這個時間常數翻過來的另一面。慢的 RC（長 tau）只放慢的、低頻的變化通過；快的 RC 則放快的通過。時間與頻率是同一個電路的兩種看法，而 tau 就是兩者之間的樞紐。