為什麼階乘想要長大
階乘是數學裡最天真無邪的函數：4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24，故事就這麼簡單。但它有個惱人的限制——它只跟整數說話。(1/2)! 或 (3.7)! 沒有明顯的意義，更別說 (i)! 了。你大可聳聳肩說這些是無意義的問題，但你在先前階梯上建起的整套工具——冪級數、圍道積分、解析延拓——存在的目的，正是把一個離散的圖樣追進連續的平面、發現它一直都有靈魂。階乘正乞求著成為這樣一個函數。
麻煩在於有無窮多條光滑曲線穿過 (1, 1)、(2, 2)、(3, 6)、(4, 24) 這些點。你能用數不清的方式把曲線在它們之間彎來彎去，所以光憑巧思並不能讓兩點之間「那個」階乘唯一。奇蹟是：只要再加上一個正則性的要求，這些內插裡就有唯一一個被逼了出來；一旦你找到它，每一條關於階乘的古典公式都會重新現身、而且更深刻。這條卓越的內插就是伽瑪函數，寫作 Gamma(z)，它遵守的慣例是 Gamma(n) = (n - 1)!——錯開了一格，理由純屬歷史，我們就照單全收。
歐拉積分：一座吃實數運轉的工廠
這裡是歐拉的神來一筆。他不去試著畫一條穿過那些點的曲線，而是找到一個積分，它的值在整數處早已等於 (n - 1)!，卻對中間任何 z 都完全說得通。這就是伽瑪函數的歐拉積分：Gamma(z) = integral from 0 to infinity of t^(z-1) e^(-t) dt。被積函數是一場拔河——冪 t^(z-1) 隨 t 變大把值往上推，而衰減 e^(-t) 終究把一切壓成零——而積分量的是誰在整條正軸上取勝。
Gamma(z) = integral from 0 to infinity of t^(z-1) e^(-t) dt ( valid for Re z > 0 )
check the integers:
Gamma(1) = integral of e^(-t) dt = 1 = 0!
Gamma(2) = integral of t e^(-t) dt = 1 = 1!
Gamma(3) = integral of t^2 e^(-t) dt = 2 = 2!
one integration by parts on integral of t^z e^(-t) dt gives
Gamma(z + 1) = z * Gamma(z)但這裡有誠實的附帶條款，而且很要緊。這個積分只在 z 的實部為正時收斂——寫作 Re z > 0。在下限 t = 0 附近，被積函數行為像 t^(z-1)，而那只在 Re z > 0 時積分有限；把 z 推到虛軸左邊，積分就在零處發散。所以歐拉公式還不是整個平面上的函數：它是右半平面上一個完全像樣的全純函數，僅此而已。把它越過那道牆往外延伸，是下一節的工作——而那恰恰是解析延拓被發明出來要做的那種工作。
遞迴關係：喬裝的階乘
伽瑪最重要的單一性質，從一次分部積分裡掉了出來，值得你在腦中親手做一遍。把 Gamma(z + 1) = integral of t^z e^(-t) dt 做分部積分，微分 t^z、積分 e^(-t)。邊界項在兩端都消失（t^z 在 0 處被殺死、e^(-t) 在無窮處被殺死），存活下來的是 z 乘以原積分。結果就是伽瑪函數的函數方程：Gamma(z + 1) = z * Gamma(z)。這是整個科目的引擎。
盯著那條遞迴，階乘就跳了出來。它說：自變數往上加一，就乘上當前的數。這正是階乘所做的——(n+1)! = (n+1) * n!。從已知值 Gamma(1) = 1 出發、一次又一次套用此法則，得 Gamma(2) = 1 * Gamma(1) = 1、再 Gamma(3) = 2 * Gamma(2) = 2、再 Gamma(4) = 3 * Gamma(3) = 6，一步一步把階乘走出來。伽瑪不只是穿過階乘那些點的一條曲線；它把階乘的定義法則刻進了骨子裡，如今對每個 z 都成立，而不只是整數。
這條遞迴也讓你算出貨真價實的新值，是樸素階乘永遠搆不到的。皇冠上的明珠是 Gamma(1/2) = sqrt(pi)，這個事實你能靠把歐拉積分化成高斯積分來證明。由它出發，遞迴甩出一整道階梯：Gamma(3/2) = (1/2) Gamma(1/2) = sqrt(pi)/2、再 Gamma(5/2) = (3/2) Gamma(3/2) = 3 sqrt(pi)/4，依此類推。用日常語言說，(1/2)! = Gamma(3/2) = sqrt(pi)/2——二分之一的階乘是 pi 平方根的一半。一個關於半整數的問題竟以 pi 自答，這是伽瑪正在做某件遠比內插更深刻之事的頭一個徵兆。
越過那道牆：延拓到整個平面
歐拉積分停在 Re z > 0 那道牆，但遞迴不在乎牆——而那正是解開平面其餘部分的鑰匙。把 Gamma(z + 1) = z * Gamma(z) 重整為 Gamma(z) = Gamma(z + 1) / z。右邊對 Re z > -1（除 z = 0 外處處）都說得通，因為分子只需要 z + 1 坐落在原本那半平面裡。所以這條重整後的公式把伽瑪往左多定義了整整一格，而且它在兩者都有定義之處必定與歐拉積分一致，因為兩個在重疊處相符的全純函數，被解析延拓的唯一性逼得相等。
- 從歐拉積分起步，它在右半平面 Re z > 0 上定義了 Gamma(z)。
- 用 Gamma(z) = Gamma(z + 1) / z 往左延拓一條帶，到達 Re z > -1，唯獨在 z = 0 處留下新的缺口。
- 再套用同一步驟，到達 Re z > -2（除 z = 0, -1 外），再一次到 z = 0, -1, -2，如此無限進行下去。
- 所得是整個平面（扣掉 z = 0, -1, -2, -3, ... 那些除以零堆積之處）上的單一函數。
現在看看那些剩下的點付出了什麼代價。在 z = 0，公式把 Gamma(1) = 1 除以 z，所以伽瑪像 1/z 一樣爆破——一個單極點。再往左一步，z = -1 從除以 (z + 1) 那裡繼承一個極點，依此類推：伽瑪在每個非正整數 0, -1, -2, -3, ... 處都有單極點，別無他處。一個唯一奇點只有極點的函數是亞純函數，所以完工的伽瑪在整個平面上是亞純的。關鍵是它完全沒有零點——這個事實在本階梯稍後講到黎曼ζ函數時，會成為一名主角。
是哪一條內插，以及接下來是什麼
回到那份憂慮：有無窮多條曲線穿過階乘那些點。是什麼把伽瑪釘成「那一條」？誠實的答案是：你必須加上一個額外的正則性條件，而最乾淨的是博爾-莫勒魯普定理——在所有滿足遞迴 f(z + 1) = z f(z)、起於 f(1) = 1、且在正軸上對數凸的函數之中，伽瑪是唯一的那個。拿掉凸性，別的內插就偷偷溜回來。所以伽瑪並非單憑那些點就被神奇地逼定——它是被那些點加上一個合理的光滑性要求逼定的，這才是誠實的說法。
伽瑪還有第二張臉，你該知道它存在，因為本階梯其餘部分都倚靠它。除了積分，你還能把伽瑪寫成一個橫跨它所有極點的無窮乘積——魏爾斯特拉斯乘積，由你在建構帶指定零點的函數時遇過的初等因子拼成。那個乘積形式讓「沒有零點」一目了然（一串永不為零的因子相乘永不為零），揭出著名的歐拉-馬斯刻若尼常數，並成為反射公式 Gamma(z) Gamma(1 - z) = pi / sin(pi z) 以及斯特靈漸近的天然發射台——這兩項正是下一篇的招牌結果。
退一步看看你擁有了什麼。一個只認得整數的童年運算，已成為整個平面上的亞純函數，把階乘的遞迴帶到處處，極點恰好落在非正整數、別處則無零點。建起它的每一步——一個在半平面上收斂的積分、一條把它延拓的函數方程、延拓那不可動搖的唯一性——都是你早已握有的工具。伽瑪函數是你爬到這麼高的第一份厚禮，也是通往本階梯其餘部分將開啟的ζ函數與質數的門扉。