設定：固定圓心的圓盤自映射
你來到這一階時，已經熟練地把單位圓盤當作每個保角問題都想被移植過去的友善區域，也熟悉最大模原理這條剛硬的法則：一個非常數解析函數的最大 |f| 只能在邊界上取得。施瓦茨引理，就是當你把這條法則對準想像得到最基本的情形時所得到的結果：一個把圓盤映入自身、又讓圓心不動的映射。令人驚訝的是，這麼無辜的設定竟被迫服從這麼多。
讓我固定整階都會沿用的記號。以 D 表示開單位圓盤，即所有 |z| < 1 的 z 構成的集合。設 f 是 D 上的一個解析函數，其值從不離開圓盤，即對 D 中每個 z 都有 |f(z)| < 1，並且它釘住圓心，f(0) = 0。這就是全部的假設：解析、圓盤映入圓盤、固定原點。不假設在邊界上有任何光滑性，沒有 f 的公式，別無其他。
從這個赤裸的假設，施瓦茨引理擠出兩個俐落的結論。其一，f 不會把任何一點推得比它原本離圓心更遠：對 D 中每個 z，|f(z)| 至多是 |z|。其二，映射在圓心處的拉伸不能超過速率一：導數滿足 |f'(0)| 至多是 1。兩者都是上界，且常數「相同」——恆等映射 z 在兩者都取等號——而本篇其餘的部分，就在講這個界為何成立，以及當它被達到、來到刀鋒邊緣時會發生什麼事。
技巧：除以 z，讓最大原理發力
這個證明屬於那種乍看像魔術、看清後卻發現是被逼出來的招式。假設 f(0) = 0 說明 z 整除 f，於是構造商 g(z) = f(z) / z。在 D 的每個非零點上，這是一個如假包換的解析函數。唯一的顧慮是 z = 0，那裡我們似乎在用零除以零——但那恰恰是一個可去奇點，用極限值把洞補上便得 g(0) = f'(0)。於是 g 在整個圓盤上解析，圓心處毫無例外。
g(z) = f(z) / z for z =/= 0
g(0) = f'(0) (the removable-singularity value)
On the circle |z| = r: |g(z)| = |f(z)| / r < 1 / r
(since |f| < 1)
Max-modulus on the disk |z| <= r:
|g(z)| <= max over |z| = r < 1 / r for ALL |z| <= r
Let r -> 1 : |g(z)| <= 1 throughout D引擎在這裡。在半徑 r（r < 1）的圓上，我們有 |g(z)| = |f(z)| / r，而既然 |f| < 1，這就嚴格小於 1/r。最大模原理此刻堅持：半徑 r 圓盤內部的 |g| 不能大於它在那條邊界圓上的最大值，所以對所有 |z| 至多 r 的點都有 |g(z)| < 1/r。這個不等式對每個小於 1 的 r 都成立，而我們可以放手讓 r 爬向 1。隨著 r 上升，1/r 鬆弛降到 1，留下乾淨的結論：在整個 D 上 |g(z)| 至多為 1。
把 g 的定義展開，兩個招牌結論便一齊掉出來。由 |g(z)| 至多 1 讀出 |f(z)| 至多 |z|，這是第一個結論，對 D 中每個 z 成立。而在圓心處求值，|g(0)| = |f'(0)| 至多 1，這是第二個。注意我們用到的有多少：只用到 f 把圓盤映入圓盤、它固定原點，以及最大模原理交給我們的那一個估計。這份簡省，正是這條引理全部的魅力。
剛硬的情形：等號逼出一個旋轉
到目前為止我們有兩個不等式，而不等式給人軟綿綿的感覺。施瓦茨引理真正的利齒在它的等號條款裡，那一點也不軟。設這個界哪怕被觸及一次：要麼在某個非零點 z_0 處 |f(z_0)| = |z_0|，「要麼」在圓心處 |f'(0)| = 1。那麼 f 就不只是接近恆等大小的極限——它被迫恰好是一個旋轉，f(z) = e^(i theta) z，theta 是一個固定的實角。一個等號的點，整個函數就被釘死。
理由再次動用同一個 g，這回它被逮在自己的天花板上。等號意味著 |g| 在開圓盤「內部」某處達到 1——第一種情形在 z_0，第二種在原點。但最大模原理說：一個模在內部取得最大值的解析函數，必為常數。所以 g 是一個模為 1 的常數，即 g(z) = e^(i theta)，theta 為某實數。乘回 z，你就得到 f(z) = e^(i theta) z 恰好成立：一個純旋轉，不拉伸、不彎曲。
它究竟在說什麼，又不在說什麼
值得用白話說清楚這條引理斷言了什麼，因為「映射朝圓心收縮」這句口號只是半個真理。誠實的讀法是比較性的：恆等映射是固定原點的圓盤自映射中最具擴張性的一個，而其餘每個這樣的映射，在圓心處與向外的途中，都不比它更具擴張性。一個映射當然可能把某些個別的點推得比更簡單的映射更遠，但它永遠贏不過恆等映射向外的觸及 |f(z)| 至多 |z|，也永遠在圓心處拉伸不過恆等映射。恆等映射坐在那個極端上，而施瓦茨說，沒有別的能越過它。
也要同樣清楚那些承重的假設，因為去掉任何一個都會破壞結論。固定圓心的條件 f(0) = 0 是必要的——少了它，商 f(z)/z 未必解析，事實上一個把圓盤側向滑動的映射能把原點的像往外推，於是 |f(z)| 至多 |z| 根本不成立。映入圓盤的條件 |f| < 1，正是讓每條圓上 |g| < 1/r 的根據；放鬆它，引擎就熄火。而解析性不容妥協：一個僅僅實可微的圓盤映射對這一切毫不服從，因為證明的核心——最大模原理——是一個嚴格屬於複分析的事實。
為何這麼小的引理能開啟一整階
一個自然的反對是：假設 f(0) = 0 顯得特殊——大多數圓盤自映射並不固定圓心，那麼一條非要它不可的引理有何用？答案——下一篇會完整展開——是圓盤擁有豐富的自身對稱，即圓盤自同構，也就是 D 到自身的解析雙射。每一個都由形如 (z - a) / (1 - a-bar z) 的布拉施克因子構成，而這些因子能把任一選定的點滑到圓心。於是要研究固定其他某點的映射，你就用自同構前後複合，把那點拖到原點，在那裡施用施瓦茨，再把結果翻譯回去。
那個共軛技巧，正是兩篇之後的施瓦茨-皮克引理把今天這個以圓心為中心的陳述，一舉升級為在圓盤每個點都成立的方式。而這次升級有一個驚人的讀法：施瓦茨所控制的那個量，原來是一個如假包換的距離概念——雙曲度量——在它之下，解析自映射從不增加距離，而圓盤自同構恰好保持距離。所以這條輕如鴻毛的引理，其實是把圓盤看成一個非歐幾何模型的門戶，而那正是本階要去的地方。