把存在性變成一場比賽
第三篇陳述了黎曼映射定理，並坦白說證明是非構造性的：它證明一個映到圓盤的共形映射「存在」，卻從不交給你它的公式。自然的反應是困惑——怎能不把東西造出來，就證明它存在？答案是分析學裡最了不起的招數之一。與其直接構造映射，你在所有候選映射之間擺出一場「比賽」，再證明優勝者非得正是你想要的那個映射不可。你從不把優勝者寫下來；你只證明這場比賽有一位優勝者。
把佈置釘好。設 D 是一個不等於整個平面的單連通區域，並在其內固定一個基點 z_0。我們要一個從 D 映到單位圓盤的全純雙射。考慮這一族 F：所有從 D 映入圓盤、且為單射（一對一，即單葉函數）的全純映射 f，並以 f(z_0) = 0 與 f'(z_0) > 0（一個正實數）來正規化。問題不再是「映到圓盤的映射存在嗎？」現在它變成：在 F 裡所有的映射中，哪一個在 z_0 處拉伸得最多——哪一個把導數 |f'(z_0)| 最大化？
這場比賽到底有沒有參賽者？
在追逐優勝者之前，你得先確認比賽不是空的——F 至少要含一個映射，否則 |f'(z_0)| 的上確界是對著空集合取的。這是「D 不是整個平面」與「D 是單連通」兩個假設真正出力的唯一地方，而那構造很巧。因為 D 漏掉某點 a，函數 z - a 在 D 上不取零；又因為 D 單連通，你可以抽出一個單值全純的平方根 g(z) = sqrt(z - a)——這正是初等函數那一階梯裡對數分支的機器，也正是單連通之所以要緊的原因。
那個平方根 g 是單射（若 g(z_1) = g(z_2)，平方便得 z_1 = z_2），並掉出一個漂亮的幾何事實：g 與 -g 的像不相交，所以 g 的像避開了某點 -g(z_0) 周圍的一整個圓盤。把 g 與一個反演、一個平移合成（把被避開圓盤的補集送進單位圓盤），再縮放，你就製造出一個如假包換、把 D 映入圓盤的單射全純映射。再用一個圓盤自同構調整，逼出 f(z_0) = 0 與 f'(z_0) > 0。比賽至少有一位參賽者——F 非空。
用正規族抓住優勝者
現在跑這場比賽。令 M 為 |f'(z_0)| 在所有 f 屬於 F 上的上確界。有兩件事令人不安。第一，M 有限嗎？是的——每個 F 裡的 f 都映入單位圓盤，故被 1 所界，而全純函數的柯西估計把 |f| 的界轉成 |f'(z_0)| 的界。這族一致有界，故 M < 無窮。第二，更棘手：上確界未必「被取到」。你可能有一列映射，其 |f_n'(z_0)| 攀向 M，卻沒有任何單一映射命中它。這正是前兩篇派上用場之處。
- 挑一列 f_n 屬於 F，使 |f_n'(z_0)| -> M（一個最大化序列——由上確界的定義，它總是存在）。
- f_n 全都映入圓盤，故它們構成一個一致有界——因而局部有界——的族。
- 由蒙泰爾定理，這族是一個正規族：某個子序列在 D 上局部一致地收斂到一個極限 f。
- 由本階梯第一篇，局部一致極限 f 仍是全純的，且導數的極限也收斂：f'(z_0) = lim f_n'(z_0)，故 |f'(z_0)| = M。
讀懂剛才發生的事。上確界被取到了——極限映射 f 真的達成了最大導數 M。蒙泰爾定理是那張網，從一個只是逼近優勝者的序列裡，把優勝者撈出來；而第一篇的定理保證撈起來的東西仍是全純、且帶著正確的導數。這正是本階梯在碰映射定理之前先搭建正規族的全部理由：它們是存在性的引擎。沒有它們，比賽就會有個目標 M，卻無人抵達。
施瓦茨與赫維茨補上的兩道缺口
我們有一位優勝者 f，滿足 |f'(z_0)| = M 與 f(z_0) = 0，但還沒完——還有兩件事可能出錯，兩者都得排除，f 才會是黎曼映射。缺口一：f 究竟是不是單射？單射映射的局部一致極限，原則上可能把兩點黏在一起，或退化成常數。缺口二：f 映「滿」整個圓盤嗎，還是可能漏掉其中一部分？每道缺口都由本階梯先前的某件工具補上，而那些論證都是珍品。
單射性由赫維茨定理保住。訣竅是：任取一值 w，看映射 f_n(z) - w。沒有任何單射的 f_n 取值 w 兩次，所以在避開相關點的任何區域裡，f_n(z) - w 至多有一個零點。赫維茨定理說：當 f_n -> f 局部一致地收斂，零點只能保留或消失，絕不會憑空成對冒出——故極限 f(z) - w 也至多有一個零點。這恰恰就是單射性。赫維茨留下的唯一逃生口是 f 可能為常數，但 |f'(z_0)| = M > 0（我們早已造出一位帶正導數的參賽者）排除了它。所以 f 是單射。
滿射性是其中最俐落的一步，而且純然是施瓦茨引理的推理——一個「動用極值性」的反證法。假設 f 漏掉了圓盤中某點 alpha。那麼，用先前同樣的平方根構造（如今合法，因為圓盤去掉一點不成障礙），你能造一個新映射 g 屬於 F，使它在 z_0 處的導數嚴格大於 M——你恰恰從 f 留下的那個洞裡，擠出了額外的拉伸。但 M 是最大值，沒有映射能勝過它。矛盾。故 f 一無所漏：它映滿整個圓盤。
為什麼映射唯一，以及證明沒給你的東西
這個極值映射也是「唯一」的正規化映射——這就是黎曼映射的唯一性，而它是一行施瓦茨論證。設 f 與 g 都把 D 映滿圓盤，且 f(z_0) = g(z_0) = 0，並在 z_0 處有正導數。那麼 h = g 合成 f-inverse 是圓盤到自身、固定 0 的全純雙射，故它是固定原點的圓盤自同構——由施瓦茨引理，是一個純旋轉 z -> e^(i theta) z。正導數的正規化逼出 e^(i theta) = 1，故 h 是恆等映射，於是 g = f。三個正規化（z_0 去哪、導數的正負號）把映射完全釘死。
THE PROOF AT A GLANCE
F = { f : D -> disk holomorphic, injective, f(z_0)=0, f'(z_0)>0 }
M = sup over F of |f'(z_0)|
square-root trick ........ F is non-empty (needs: D != C, simply connected)
Cauchy estimate .......... M < infinity
Montel + guide 1 ......... M is attained by some f (existence)
Hurwitz .................. f is injective (no gluing)
Schwarz contradiction .... f is onto the whole disk (no hole)
Schwarz again ............ f is the unique such map (uniqueness)
===> f : D -> disk is a conformal bijection. QED.對這論證是什麼、不是什麼，要誠實。它是一個存在唯一性證明，不是一份食譜：我們從未為 f 寫下公式，而對一般的區域 D，並無初等公式存在。證明告訴你這個神奇映射在那裡、且唯一，但要算出它，通常意味著數值方法或特殊技巧（下一篇的施瓦茨-克里斯托費爾公式，是少數你「能」寫下它的情形之一，針對多邊形）。這定理也僵硬地排除了整個平面 C——而這是對的，因為由劉維爾型的推理，沒有有界非常數映射能源自 C，故那裡的比賽 F 會是空的。平面上任兩個單連通區域（皆非整個 C），總能互相映射，只要把各自的黎曼映射合成起來；正是這個推論，使這定理成為它那樣的分類大師工具。