一口氣說完的陳述
你在前兩篇花力氣造了一台機器，卻還不知道它的用途。你學到全純函數的局部一致極限仍是全純的，也學到正規族——每個序列都有局部一致收斂子序列的族——正是蒙泰爾定理在族局部有界時免費交給你的東西。那是一台緊緻性引擎。本篇要告訴你，它當初是為了驅動什麼樣壯麗的東西而建造的。
定理如下。取平面中任何一個單連通開區域 D——一個沒有洞的區域——並設 D 不是整個平面 C。那麼存在單一的共形映射，把 D 雙射地映成開單位圓盤：一個全純、一對一、映滿、且逆映射也全純的映射 f。一個正方形、一條心形曲線的內部、一條無窮長條、被割掉一道縫的平面——它們每一個，在共形上，都是同一個圓盤。
停下來體會這有多強。這些形狀毫不相像——一個鋸齒、一個無界、一個被劃開一道傷口——然而單一的全純雙射把每一個熨平成圓圓的圓盤，同時保住每一個角。邊界可以有天差地別的長度與粗糙度；定理毫不在乎。在共形映射下倖存的唯一不變量是角度，以及沒有洞這個拓撲事實，而黎曼映射定理說，那就是唯一曾經要緊的東西。
為何這正是你一直渴望的那個夢
早在共形映射那一階，你就見過移植問題的策略：一個關於難搞區域的問題，只要你能把它共形地搬到單位圓盤、用圓盤乾淨的工具在那裡解決、再把答案搬回家，就變得容易。但總有一個揮之不去的顧慮——對「我的」區域而言，這樣的搬運映射究竟存不存在？你能為半平面寫出莫比烏斯映射、為少數特例寫出凱萊變換，但面對一個真正彆扭的形狀，你束手無策。
黎曼映射定理把這個顧慮徹底化解。只要你的區域沒有洞、又不是整個平面，搬運映射就保證存在——你不必把它找出來就能知道它在那裡。任何提在單連通區域上的狄利克雷問題、任何穩態熱分佈、任何理想流體流動，原則上都能被拉回圓盤，在那裡由帕松積分直接解出，再推送回去。這個定理就是那張正式的許可證，讓整套移植哲學成為合法的方法，而非只對特殊定義域湊巧管用的把戲。
三道你不可翻越的圍欄
這些假設不是裝飾；每一個都承重，去掉任何單獨一個都會破壞定理。第一道圍欄是沒有洞——D 必須單連通。一個環域，即兩圓之間的環，有一個洞，它在共形上確實不是圓盤。最乾淨的看法是：一個映到圓盤的共形映射會讓你在環域上造出一個被那個洞所禁止的函數。事實上，兩個環域唯有其內外半徑比相符時才共形等價，所以這些環域構成一整個連續區間的相異形狀——正是洞攜帶著真實、不可移除資訊的證據。
第二道圍欄是不是整個平面。平面 C 本身是單連通的，所以你或許指望它能溜進來——但它被牢牢排除，而原因是劉維爾定理。一個把 C 映到圓盤的共形映射會是一個有界、非常數的整函數（它的值全落在圓盤內，故處處 |f| < 1）。劉維爾說沒有這樣的函數：有界整函數必為常數。所以整個平面頑固地拒絕在共形上成為圓盤，而「D 不是整個 C」這個排除並非吹毛求疵，而是一堵硬牆。
第三道圍欄是安靜的那道：結論只關乎「內部」。映射是開區域與開圓盤之間的雙射，本身對邊界隻字未提——你區域鋸齒邊緣上的一點，是否與單位圓上的一點乾淨地對應上。對許多應用而言，那個邊界對應正是你需要的，而當邊界狂野時它可能失效。本階的第五篇會正經處理邊界行為；眼下，只要記住「D 映成圓盤」是一個關於內部的陳述就好。
定下「那個」映射：靠一個歸一化取得唯一性
嚴格說來並非只有一個黎曼映射，而是無窮多個，因為一旦你有了一個映到圓盤的共形映射，你可以再接上任何旋轉或任何圓盤自同構，就得到另一個同樣完美的映射。那我們究竟憑什麼說「那個」黎曼映射？答案漂亮而工整：剩下的自由恰好是圓盤自身對稱的自由，不多，而你用一個小小的歸一化就能把它全部花光。
- 在 D 內部任選一個基點 z_0——一個你在意的內部點，通常是你想當作圓盤圖像「圓心」的地方。
- 要求 f(z_0) = 0：被選的點必須落在圓盤的圓心。這花掉兩個實自由度（一個複值就是兩個實數）。
- 要求 f'(z_0) > 0，一個正實數：這定下映射在 z_0 處朝哪個方向旋轉，花掉剩下的那一個實自由度。
- 施加這三個實條件後，映射如今唯一了——恰好存在一個由 D 映滿圓盤、滿足它們的共形映射 f。
這段算術就是笑點所在。圓盤自同構群恰好有三個實維度寬——兩個用來把圓心移到任何地方，一個用來旋轉——而我們的歸一化恰好施加三個實條件。它們完美相符，於是把映射定得不鬆不緊、不多不少。證明這真的逼出唯一性，是一行施瓦茨引理論證：若 f 與 g 都滿足該歸一化，則 g 與 f 的逆映射的複合是一個固定 0、在那裡導數為正的圓盤自同構，而你本章稍早證過的施瓦茨引理迫使這樣的映射為恆等映射，故 g = f。
向證明方式投去一瞥
好奇沒有公式可寫時，人究竟怎麼造出一個映到圓盤的共形映射，這很合理。下一篇會講完整的故事，但這裡先給出它的輪廓，好讓存在性的斷言不像是變魔術。你蒐集所有把 z_0 送到 0、由 D 映入圓盤的單射全純映射所構成的族 F，然後問哪一位成員在 z_0 處把 D 張開得最猛——也就是哪一個最大化 |f'(z_0)|。斷言是：這個最貪婪的映射被迫映滿，而一個映滿、單射、全純、映到圓盤的映射，正好就是一個黎曼映射。
這正是第一、二篇那台引擎終於點火之處。族 F 被 1 所界，故局部有界，故由蒙泰爾為「正規」——於是一列導數攀向最大值的映射，有局部一致收斂的子序列。它的極限是全純的（魏爾斯特拉斯），仍擁有最大導數，且仍是單射（赫爾維茨讓單射映射的極限保持單射）。唯一微妙的一步是說明極大者映滿，而那要用施瓦茨引理製造矛盾，假如它不映滿的話。緊緻性給出存在性；極值性質則逼出你需要的其餘每一種品質。