正確的收斂概念
本階梯將朝著整門學問的鎮店之寶——黎曼映射定理——一路搭建，而驅動它的引擎，是一台對解析函數取極限的機器。所以我們必須先解決的頭一個問題是：我們究竟該要求哪一種收斂。逐點收斂——f_n(z) 在每個別的點 z 上趨近 f(z)——遠遠太弱；它放進各式各樣的病態現象，且對導數什麼也說不出。最強的自然選擇，即在整個區域上一次到位的處處一致收斂，又太強：大多數有用的數列在邊界附近做不到這一點，那裡函數可以無界地增長。
那個「剛剛好」的概念是局部一致收斂，也稱為在緊緻子集上的一致收斂。它說：對於每一個坐落在區域內部的緊緻集 K，f_n 趨近 f 的收斂在 K 上是一致的。等價地說，區域裡的每一點周圍都有一個小的閉圓盤，收斂在其上是一致的。你在上一階梯就遇過這個確切的想法，當時你證明了一個冪級數在其收斂圓盤的每個緊緻子集上一致收斂——即使它在整個開圓盤上可能做不到一致收斂。局部一致，正是一切解析事物的自然居所。
定理本身，以及它為何該令你驚訝
招牌登場，魏爾斯特拉斯收斂定理。設每個 f_n 在開區域 D 上解析，並設 f_n 在 D 上局部一致地趨近某個極限 f。那麼 f 在 D 上是解析的——句號。還有第二半，幾乎比第一半更值得驚嘆：導數也收斂。數列 f_n' 局部一致地趨近 f'，而對每一個更高階導數也成立。微分，這個通常會摧毀收斂性的運算，竟然直接穿過了極限。
要體會這有多奇怪，你得記得實數線的行為有多糟。在實數上，光滑函數的一致極限可以根本不可微。經典的震撼是：區間上的「每一個」連續函數——包括處處不可微的魏爾斯特拉斯怪物，那條在每一尺度上都顫動的曲線——都是多項式的一致極限。多項式要多光滑有多光滑，但它們的一致極限卻可能處處沒有導數。實數的一致收斂根本保護不了光滑性，更別說讓你交換極限與導數了。
所以魏爾斯特拉斯定理並不是某個實變數事實在複數中的回聲——根本沒有實變數的對應物。它是你一路以來不斷遇見的那種剛性的又一張面孔：複可微是個如此苛刻的條件，以致它在取極限時被保住；而實可微是如此脆弱，以致它在取極限時被摧毀。這之所以行得通，全部的原因在於：解析其實暗地裡是一個積分條件，而非逐點的微分條件，而積分正是一致收斂最擅長穿過的東西。
證明：莫雷拉一行搞定
最乾淨的證明倚靠莫雷拉定理，即你上一階梯證過的柯西定理之逆：若連續函數 g 具有這樣的性質——它繞著區域內每個小三角形（或閉迴路）的積分都為零——那麼 g 自動是解析的。莫雷拉把解析性從一個關於導數的陳述，變成一個關於積分為零的陳述——而積分恰恰是一致收斂無害之處。正是這一次視角的調換，讓整個論證變得平凡。
- 首先，極限 f 是連續的。連續函數的局部一致極限是連續的，而每個 f_n 連續（因為解析），所以 f 在 D 上連續。我們已掙得對它積分的權利。
- 任取一個閉三角形 T，其內部完全落在 D 內。因為每個 f_n 解析，柯西定理給出 f_n 繞 T 邊界的積分為零——對每一個 n 皆然。
- 現在讓 n 趨於無窮。三角形的邊界是緊緻集，所以 f_n 在其上一致趨近 f，而一致收斂讓你能交換極限與積分：f 繞 T 邊界的積分，等於 f_n 各積分的極限，也就是一列零的極限——即零。
- 所以 f 連續，且繞 D 內每個三角形積分為零。由莫雷拉定理，f 是解析的。這就是前半部的全部證明。
注意是什麼包辦了全部負擔：第三步裡的那次調換——緊緻迴路上的一致收斂讓極限穿進積分裡，把一列零的極限變成「極限的積分為零」。這一招對逐點收斂是非法的、對導數是危險的，但對積分上的一致收斂卻是家常便飯。莫雷拉提供了從積分通回解析性的橋；一致收斂則完成了過橋。
附贈：導數免費收斂
第二半——f_n' 趨近 f'——出自驅動了前幾階梯的同一個魔法來源：求導數的柯西積分公式。回想它把導數表達為一個繞外圍圓周的積分，而非差商的極限。把它寫成第 n 個導數與極限的導數之間的差，就讓收斂幾乎不證自明。
f_n'(z_0) - f'(z_0)
= (1 / 2 pi i) integral over |w - z_0| = r of
[ f_n(w) - f(w) ] / (w - z_0)^2 dw
|f_n'(z_0) - f'(z_0)| <= (1/r) * max over the circle of |f_n - f|
the max -> 0 (uniform convergence on the circle) => f_n'(z_0) -> f'(z_0)把這個估計慢慢讀，因為它包辦了全部工作。在通常的差商圖像裡，微分是危險的：除以一個微小的步長，可以瘋狂地放大函數裡的小誤差。但柯西公式改為除以固定、舒適半徑 r 的圓周上的 (w - z_0)^2——絕不除以任何小東西。於是 f_n 裡的小一致誤差，變成 f_n' 裡的小誤差，被同一個上確界僅以 1/r 縮放後所控制。這就是為何在這裡交換極限與導數是合法的深層原因：在複數世界裡，導數是一個取平均的積分，而取平均馴服誤差，而非放大誤差。這些估界正是你用來證明劉維爾定理的那同一組柯西估計。
為何這是整個階梯的地基
很難誇大這條小定理解鎖了多少東西。通往黎曼映射定理的計畫是一個緊緻性論證：我們會建構一列解析的候選映射，抽出一個收斂的子數列，再把它的極限加冕為答案。除非解析函數的極限本身仍是解析的，否則這套策略一出生就死了——而魏爾斯特拉斯定理恰恰是「極限留在俱樂部裡」的那個承諾。正規族，下一篇的核心對象，按定義就是一族解析函數，使得其中每個數列都有一個局部一致收斂的子數列；正是這條定理保證那些極限是可用的。
導數那一半的回報同樣直接。要證明黎曼映射是單射，我們會需要單射映射的極限仍是單射，而那正是幾篇之後赫爾維茨定理的工作——一個靠數零點來論證的結果，因而倚賴 f_n' 與 f' 同行這件事。就連把小集合上的收斂升級為處處收斂的維塔利定理，也是一個以魏爾斯特拉斯為起點的精煉。誠實的總結：本階梯後面幾乎每一個取極限的論證，都悄悄引用著你剛剛證出的這條定理。