留數定理 — JOVANA Education

一條統御眾積分的定理

上一篇指南裡，你學到了什麼是留數——也就是羅朗級數中坐在 1/(z - z_0) 前面的那個係數 a_(-1)——並且收集了一些快速配方，讓你不必展開整條級數就能算出它。那個數字看起來像個微不足道的記帳細節。本篇指南要揭示，為什麼它是整個複分析裡最重要的係數：它是沿迴路積分後唯一存活下來的那個。其餘所有項積分後都歸零，而留數正是最後屹立不倒的那一個。

回想那個揭開一切序幕的積分。取一個環繞 z_0 的圓，逐項對 (z - z_0)^n 積分。除了 n = -1 之外的每一個冪次，都有一個沿迴路單值的原函數，於是它繞回起點的值，積分為零。唯一的例外是 (z - z_0)^(-1)，它的「原函數」是多值的對數：繞一圈，幅角就加上 2 pi i，積分恰好等於 2 pi i。所以在整條雙邊羅朗級數中，環繞奇點積分恰恰只留下一項——也就是 a_(-1) 項——並報出 2 pi i 乘以 a_(-1)。

把它寫成一條乾淨的規則。對每一個不等於 -1 的整數 n，(z - z_0)^n dz 沿圓的積分為 0；唯獨 n = -1 時為 2 pi i。於是把 f 的羅朗級數逐項積分，便抹去一切，只留下 2 pi i 乘 a_(-1)，這恰好就是 2 pi i 乘上作為該羅朗係數讀出的留數。這就是整條定理的縮影，針對單一奇點而言——本篇指南其餘部分，只是讓迴路一次圈住好幾個奇點罷了。

陳述這條定理

現在別只盯著單一奇點，讓迴路大一些，把好幾個奇點都圈進去。留數定理說：若 f 在簡單閉圍道 C 的內部及其上都全純，僅在嚴格落於 C 內部的有限多個孤立奇點 z_1, ..., z_m 處例外，則 f(z) dz 沿 C 逆時針的積分，等於 2 pi i 乘上那些點上留數之和。這個積分絲毫不在乎 f 在各奇點之間有多複雜——它只讀取每個奇點處的局部留數，再把它們加起來。

integral over C  of  f(z) dz   =   2 pi i  *  sum over k=1..m  Res(f, z_k)

   C  -- simple closed contour, counterclockwise
   z_k -- the isolated singularities of f strictly inside C
   Res(f, z_k) -- the residue at z_k (the a_(-1) of its Laurent series)

留數定理：一個整體的圍道積分，就是留數的一個局部求和。

為什麼答案就只是求和？因為柯西定理允許你把那一個大迴路 C 形變——而不改變積分值——成一束小圓圈，每個小圓緊抱一個奇點，並由一些細如髮絲的走廊相連，這些走廊成對相消。大迴路與小圓之間的區域沒有奇點，於是 f 在那裡全純，那一部分毫無貢獻。接著每個小圓便由上面的計算各自貢獻它的 2 pi i 乘 Res。把它們加總，定理就成立了。整個證明，全是圍道形變在幹活。

為何它是柯西定理的宏大推廣

看看當 C 內部根本沒有奇點時會怎樣。右邊的求和是空的，於是積分為零——而這恰恰就是你上一階梯證過的柯西積分定理。留數定理把它當成「對空集求和」這個特例收納其中。柯西定理說全純函數沿迴路積分為零；留數定理把它升級為：它們積分為零，除了在每個奇點處有一個明確、可算的修正項。

它也吞下了柯西積分公式。取函數 g(z) = f(z)/(z - z_0)，其中 f 全純。它在 z_0 處有一個單極點，而依上一篇指南的單極點配方，它在那裡的留數就是 f(z_0)。把這個單一留數餵進定理，f(z)/(z - z_0) dz 的積分便等於 2 pi i 乘 f(z_0)。這就是柯西積分公式。於是上一階梯的兩個偉大定理，如今都成了一條總綱陳述底下的兩個小小特例。

從頭到尾走一遍迴路

讓我們在一個具體的迴路上把整台機器跑一遍。把 f(z) = 1/(z^2 - 1) 沿圓 |z| = 2 逆時針積分。分母分解為 (z - 1)(z + 1)，所以有兩個單極點，分別在 z = 1 與 z = -1——而兩者都安然落在半徑 2 的圓內。迴路內其他各處 f 都全純。留數定理說，我們只需要這兩點各自的留數。

找出 C 內部的奇點。極點在 z = 1 與 z = -1；兩者皆 |z| = 1 < 2，故都被圈住。（圓上本身沒有奇點——這一點我們總得檢查。）
在 z = 1 的留數。用單極點配方 Res = lim (z - 1) f(z) = 1/(z + 1) 在 z = 1 處求值，得 1/2。
在 z = -1 的留數。同樣地 Res = lim (z + 1) f(z) = 1/(z - 1) 在 z = -1 處求值，得 -1/2。
求和並相乘。留數加起來是 1/2 + (-1/2) = 0，所以積分為 2 pi i 乘 0 = 0。

積分消失了——但請注意，它消失並非因為 f 在內部全純（它並不全純；那裡有兩個極點），也不是因為我們找到了原函數。它消失是因為兩個留數恰好相消。把迴路縮小到只圈住 z = 1，答案就變成 2 pi i 乘 1/2 = pi i。留數定理讓「迴路圈住了什麼」成為整個故事：你圈進了哪些極點，以及它們的留數是什麼。

繞數與誠實的假設

上面陳述的版本假設一個逆時針繞行一次的簡單迴路，於是每個被圈住的奇點恰好被纏繞一次。完整的定理更為銳利：若圍道繞 z_k 轉了某個整數圈——也就是它的繞數 n(C, z_k)，逆時針的圈計為正、順時針計為負——那麼每個留數就被這個圈數加權。一般公式是：沿 C 的積分等於 2 pi i 乘上各項 n(C, z_k) Res(f, z_k) 之和。繞兩圈，貢獻就加倍；順時針繞，符號就翻轉。

握著這條定理與這些提醒，你現在已為真正的大獎裝備就緒。接下來的三篇指南，將拿一個沒有初等原函數的實軸積分，用一段添上去的圓弧把它封成一條圍道，再從內部的留數直接讀出答案——第三篇是一個週期上的三角積分，第四篇是由喬丹引理馴服的瑕積分，第五篇則是切割線與級數求和的技法。但永遠記住那些指南會一再強調的陷阱：定理只給出閉迴路的積分，所以在實積分掉出來之前，你必須另外證明那段添上去的圓弧毫無貢獻。