從有限的部分分式到無窮多個極點
早在複分析之前你就見過部分分式：像 1/(z^2 - 1) 這樣的有理函數會拆成 1/2 乘 1/(z-1) 減 1/2 乘 1/(z+1)，每個極點對應一個乾淨的項。複分析的觀點讓這套記帳變得誠實——每一片都是它那個極點處的主要部分，而係數就是那裡的留數。換句話說，有限的有理函數無非就是它各主要部分之和再加一個多項式。當極點只有有限多個時，故事就到此為止。
現在轉向一個有無窮多極點的亞純函數。餘切 cot z = cos z / sin z 在 sin z 的每個零點處都有單極點，也就是在每個整數 n 對應的 z = n pi 處。csc z = 1/sin z 也一樣。我們的夢想是把每個函數寫成「一個極點配一個主要部分」之和——但一個由 1/(z - n pi) 諸項組成的無窮和不可能收斂，正如調和級數不可能收斂。這恰是前一篇所填補的缺口。
餘切展開式，逐項拆解
這就是那個獎品，餘切展開式。在 z = n pi 附近，cot z 的行為像 1/(z - n pi)——一個留數為 1 的單極點，因為對數導數 cot z = (sin z)'/sin z 在 sin z 的每個單零點處取得留數 1。天真地把 1/(z - n pi) 對所有整數求和會發散。米塔-列夫勒開出的藥方，是把 +n pi 處的極點與它在 -n pi 處的孿生兄弟配對合併：1/(z - n pi) + 1/(z + n pi) = 2z/(z^2 - n^2 pi^2)。這個配對正是那個喬裝過的「強制收斂的減項」——它讓第 n 項以 1/n^2 而非 1/n 的速度縮小。
cot z = 1/z + sum over n = 1 to infinity of 2z / (z^2 - n^2 pi^2)
= 1/z + ( 1/(z - pi) + 1/(z + pi) )
+ ( 1/(z - 2pi) + 1/(z + 2pi) )
+ ...
each paired term ~ 2z / (n^2 pi^2) ~ 1/n^2 <-- now it converges讀這條公式，並核對它的誠實。在 z = 0 處，唯獨 1/z 這一項承載極點；每個配對項 2z/(z^2 - n^2 pi^2) 在那裡都有限，並因對稱而求和為 0，於是 cot z 減 1/z 如所期望地趨於 0（cot z 是奇函數）。在 z = pi 附近，1/(z - pi) 這一項以留數 1 爆開，恰好對上 cot 的極點，而其餘所有項保持有限。每個極點都被交代清楚、配上正確的主要部分，而剩下的是一個有界的整函數，結果它恆等於零——這正是為何這個等式是精確的，而非僅僅「差一個多項式」。
為何剩餘項消失——把它釘死為零
米塔-列夫勒交給你一個帶有正確極點的亞純函數，但只能準到差一個未知的整函數——叫它 g(z)。要精確釘住 cot z，你必須證明 g 為零，而這正是初學者略過的一步。構造差 d(z) = cot z 減去右邊的整個級數。每個極點依構造相消，所以 d 是整函數。訣竅在於把它定界：在遠離極點之處，cot z 與級數兩者都在「邊恰落在相鄰極點正中間」的大方塊上保持有界，因為那裡 sin z 充分地大。有界的整函數依劉維爾定理必為常數，又因兩邊都是奇函數，這個常數必為 0。
兩點誠實提醒。其一，對稱配對是不可或缺的：級數 sum of 2z/(z^2 - n^2 pi^2) 在遠離極點的緊集上絕對且一致收斂，但未配對的形式 sum of 1/(z - n pi)（對所有 n）只在對稱意義下收斂——即從 -N 到 N 隨 N 增長的求和——且非絕對收斂。這裡的次序至關緊要，而寫成配對形式正是讓那個次序合法的關鍵。其二，這個展開是針對複數的 cot z，對所有不是 pi 的整數倍的 z 都成立，不只對實角度有效；你或許見過的實版公式，是它在實軸上的限制。
把對數導數積分：正弦乘積式蹦了出來
這裡有個漂亮的回報，把整個階梯繫在一起。回想第二篇：cot z 是 sin z 的對數導數：(d/dz) log sin z = cos z / sin z = cot z。對數導數把乘積化為求和——對一個乘積取對數會把它變成求和，再微分便得到一串 (f_k)'/f_k 形式的項之和。所以若 cot z 是一串單極點項之和，sin z 就理應是那個「其因子恰好生成這些項」的乘積。把餘切展開式積分起來，就把這套邏輯反向跑一遍。
- 從 cot z = 1/z + sum of [1/(z - n pi) + 1/(z + n pi)] 這個配對的餘切展開式出發。
- 把每一片認作一個對數導數：1/z = (d/dz) log z，而 1/(z - n pi) + 1/(z + n pi) = (d/dz) log(z^2 - n^2 pi^2)，至多差個常數即 (d/dz) log(1 - z^2/(n^2 pi^2))。
- 逐項積分（合法，因級數在緊集上一致收斂）：log sin z = log z + sum of log(1 - z^2/(n^2 pi^2)) + C。
- 取指數以還原對數：sin z = e^C 乘 z 乘 product of (1 - z^2/(n^2 pi^2))。
- 用 z 趨於 0 時 sin z / z 趨於 1 來定常數（空乘積為 1，故 e^C = 1）。
蹦出來的，正是歐拉那條著名的正弦乘積式：sin z = z 乘 product over n >= 1 of (1 - z^2/(n^2 pi^2))。這恰是 sin z 的魏爾斯特拉斯因式分解的完全顯式版本——正弦的每個零點（在 z = 0 與 z = 正負 n pi）各配一個因子，並帶上所需的最簡收斂因子。餘切展開式與正弦乘積式是同一件事的兩面：餘切是正弦的對數導數，所以前者的部分分式正是後者各因子的對數導數。米塔-列夫勒（極點）與魏爾斯特拉斯（零點），由一次積分重新會合。
餘切的夥伴們，與一條著名的推論
一旦有了 cot，三角家族的其餘成員都靠初等手法掉了出來。餘割來自恆等式 csc z = cot(z/2) - cot z，或直接寫：csc z = 1/z + sum of (-1)^n times 2z/(z^2 - n^2 pi^2)，骨架相同但符號交錯，因為 csc 在 z = n pi 處的留數是 (-1)^n，而非 cot 那恆定的 1。正切是餘切平移四分之一週期的結果，tan z = -cot(z + pi/2)，故其極點落在 pi/2 的奇數倍處；把 cot z 微分得到 csc^2 z = sum of 1/(z - n pi)^2（對所有整數），這是個帶二階極點、完全絕對收斂的展開。每一個都是同一套米塔-列夫勒配方，各配上自己的留數。
這些展開式不只漂亮——它們會算。在正弦乘積式中令 z = i y，或把一個特殊值代入餘切展開式，封閉形式便紛紛滾出。最著名的一個：用兩種方法比較 log(sin z / z) 中 z^2 的泰勒係數——由級數 sum of log(1 - z^2/(n^2 pi^2)) 得到的是負 1/pi^2 乘 sum of 1/n^2，而由 cot 的已知展開得到的是負 1/3。令兩者相等便得 sum of 1/n^2 = pi^2/6，這就是歐拉對巴塞爾問題的解答。同一套機器再往前推，就能算出對每個 k 的 sum of 1/n^(2k)，並與伯努利數及 zeta 函數在偶整數處的值相連。
退後一步，看看這最後一階梯成就了什麼。你學到整函數是它各零點的乘積（魏爾斯特拉斯），亞純函數是它各主要部分之和（米塔-列夫勒），而現在又知道：對三角函數而言，兩幅圖像都是顯式的、優美的，並透過對數導數彼此對偶。餘切展開式是整套理論中最有用的單一實例——把它放進口袋隨身帶著。它也是伽瑪函數乘積與解析數論的歷史種子；在那裡，正是這些想法被施用於 zeta 函數，引出深刻而至今未解的問題。