多項式的夢想，以及它破裂之處
從一件你從中學就信任的事開始。一個 n 次多項式，根為 a_1, ..., a_n，可以寫成一個常數乘以 (z - a_1)(z - a_2)...(z - a_n)。根不只是關於多項式的線索——把因子乘回去之後，它們就是那個多項式。在上一篇談用零點分解函數時，我們問了那個顯而易見的後續問題：像 sin z 或 e^z - 1 這樣的整函數也有零點，往往有無窮多個，那我們能不能用同樣的方式，把它寫成一個對所有零點取的乘積？這個夢想就是把每個零點當作一個因子 (z - a_n) 提出來，然後大功告成。
它立刻就破了。假設零點 a_1, a_2, a_3, ... 一路奔向無窮——對任何有無窮多零點的整函數來說都必須如此，因為它們不能在有限點堆積，否則零點就不孤立了。把那個天真的乘積 (z - a_1)(z - a_2)(z - a_3)... 組起來。要它在固定的 z 收斂，因子必須趨於 1。但 (z - a_n) 卻反其道而行：當 a_n 奔向無窮，|z - a_n| 無界地增大。把無窮多個越來越大的數乘在一起，不會安定到某個有限值——它發散到無窮。這些因子指錯了方向。
有個廉價的第一招：把每個因子標準化。別用 (z - a_n)，改用 (1 - z/a_n)，它在 z = 0 時等於 1，而且仍恰好在 z = a_n 處為零。現在每個因子至少在 a_n 增大時朝 1 邁進，因為 z/a_n 縮向 0。從前一篇談無窮乘積的收斂裡你知道真正的判準：乘積收斂，恰好當 |z/a_n| 之和收斂時。所以如果零點奔得夠快——比方說 sum 1/|a_n| 收斂——我們其實就完成了。麻煩出在那些是用爬的、而不是用衝的奔向無窮的零點。
魏爾斯特拉斯的妙招：內建一個修正因子
當零點用爬的——例如 a_n 大致是 n，使得 sum 1/|a_n| 是調和級數而發散——標準化乘積 (1 - z/a_n) 仍然無法收斂，因為每個因子與 1 的差大約是 z/a_n，而這些差加起來是個發散的和。魏爾斯特拉斯的點子美極了：別丟掉這個因子，從內部把它修好，方法是乘上一個指數因子，它唯一的工作就是抵銷 log(1 - z/a_n) 裡那個慢慢衰減的部分。回想 log(1 - w) = -(w + w^2/2 + w^3/3 + ...)。那個賴著不死的項是領頭的 -w。所以乘上 e^w 把它幹掉。
這就給出魏爾斯特拉斯初等因子。定義 E_0(w) = 1 - w，而對 p = 1, 2, 3, ...，E_p(w) = (1 - w) 乘以 exp(w + w^2/2 + ... + w^p/p)。每個 E_p 仍恰好在 w = 1 處有它唯一的零點，因為指數函數永不為零——它只是把因子在別處重新塑形。妙處在於指數對對數做了什麼：log E_p(w) = log(1 - w) + (w + ... + w^p/p) = -(w^(p+1)/(p+1) + w^(p+2)/(p+2) + ...)。前 p 項被精準地切除了；現在這個因子與 1 只差一個大小為 |w|^(p+1) 的東西。把 p 調高，你就能讓每個因子隨心所欲地緊貼 1。
E_0(w) = 1 - w E_p(w) = (1 - w) * exp( w + w^2/2 + w^3/3 + ... + w^p/p ) for |w| <= 1/2 : | E_p(w) - 1 | <= |w|^(p+1) (single zero at w = 1; exp factor never vanishes)
把定理組裝起來
現在各部件啪地接上了。給定任何一列奔向無窮的非零點 a_n，我們想要一個由因子 E_(p_n)(z/a_n) 組成的乘積，每個恰好在 a_n 貢獻一個零點。在固定的 z 附近，第 n 個因子與 1 的差大約是 |z/a_n|^(p_n + 1)。只要我們聰明地選整數 p_n——若零點頑固地慢，就讓它們增大——我們總能逼使這些微小差之和收斂。整個遊戲就在這裡：把 p_n 選得夠大，使 sum |z/a_n|^(p_n + 1) 在每個圓盤上收斂，那麼這個無窮乘積就在緊集上一致地收斂到一個整函數。
這就是魏爾斯特拉斯因式分解定理的建構性核心。乾淨的敘述是：每個整函數 f 都能寫成 f(z) = z^m e^(g(z)) 乘以對 n 取的乘積 E_(p_n)(z/a_n)，其中 m 是原點處零點的階（若 f(0) 非零則為零），a_n 是其餘按重數列出的零點，g 是某個整函數。慢慢讀。乘積製造出恰好正確的零點；因子 z^m 處理原點處可能的零點（它沒有 1 - z/a_n 的形式）；而 e^(g(z)) 是個無零點的調節因子——指數永不為零——它承載了 f 身上一切單憑零點看不出來的東西。
典範乘積與一個做給你看的正弦例子
魏爾斯特拉斯讓 p_n 自由變動，這很大方，卻也亂。實務上你想要一個固定的整數 p，一次對所有因子都管用，給出最整潔的乘積。若存在最小的非負整數 p 使 sum 1/|a_n|^(p+1) 收斂，就對每個因子都取那一個 p；結果就是典範乘積——給定零點所允許的最省的魏爾斯特拉斯乘積。那個一致的指數 p 稱為乘積的虧格，它把函數釘得跟零點所能做到的一樣緊——哈達瑪更深的定理接著證明，對有限增長的函數，剩下的 e^(g(z)) 不過是 e^(多項式)，而非某個狂野的整函數 g。
我們真的來做一個。取 f(z) = sin(pi z)。它的零點恰好是整數 0、正負 1、正負 2、...，每個都是單零點。原點處的零點需要一個光禿禿的 z 因子。把 +n 與 -n 配成對：兩個因子 (1 - z/n) 與 (1 + z/n) 相乘得 (1 - z^2/n^2)，而一旦這樣配對，1/n^2 之和就已經收斂，所以我們根本不需要任何指數修正——虧格實際上由配對處理掉了。這給出 sin(pi z) = pi z 乘以對 n >= 1 取的乘積 (1 - z^2/n^2)。代入一個值，你就還原出歐拉著名的正弦無窮乘積。
為何這重要：把函數量身打造
退一步，看看你得到了什麼。在這定理之前，你只能分析別人遞給你的整函數。現在你能訂製一個。給我任何一列沒有有限堆積點的點，外加每個點的重數，魏爾斯特拉斯就回給你一個整函數，它的零點恰好是那些點、帶那些重數——這就是指定零點定理。整函數的零點不是什麼脆弱的巧合；它們完全任你挑選，唯一無可迴避的限制就是不能在有限點堆積。
這也是建構亞純函數的門戶。亞純函數是兩個整函數的商，所以一旦魏爾斯特拉斯讓你能造出分子要的任意零點、分母要的任意零點的整函數，你就能同時指定零點與極點。緊接的下一篇談米塔-列夫勒定理，直接用極點及其主要部分做對偶的建構；兩個定理合起來說：你幾乎能隨心所欲地，從奇異資料雕出一個亞純函數。無窮乘積與部分分式之和，正是同一套雕刻工具的兩半。
- 列出想要的零點 a_1, a_2, ...（按重數重複），並把原點處的任何零點剝出來當成單獨的因子 z^m。
- 找出使 sum 1/|a_n|^(p+1) 收斂的最小非負整數 p——那就是你的虧格，是每個初等因子的指數。
- 組成典範乘積 z^m 乘以 product E_p(z/a_n)；它在每個圓盤上收斂到一個恰好有那些零點的整函數。
- 若你心裡有個目標函數，就用對上一個值、一個導數、或一個增長率，把剩下的 e^(g(z)) 定下來——對有限階的函數，g 只是一個多項式。