複數級數與收斂

把無窮多個複數加起來是什麼意思

你一路爬到這裡，已經會對複數做加法、乘法與取極限，也看過平面上的數列朝某一點安頓下來。級數並不是什麼更奇異的東西，它只是數列的偽裝。給定數 a_0, a_1, a_2, ...，我們組出部分和 s_N = a_0 + a_1 + ... + a_N；當這些累加總和所成的數列 s_0, s_1, s_2, ... 收斂到某個數 s 時，我們就說級數 sum a_n 收斂到 s。所以級數不過是戴了頂華麗帽子的（部分和）數列罷了。

由於複數 z = x + i y 住在平面上，這個收斂可以乾淨地拆開：s_N 收斂，當且僅當它的實部與虛部各自作為普通的實數級數收斂。把部分和想成在平面上跳來跳去的點；收斂意味著這些點最終擠進 s 周圍一個小圓盤裡，再也跑不出去。這等同於說模 |s_N - s| 縮到零。所有你已經信得過的實數級數性質——尾項必須趨於零、可以逐項相加兩個收斂級數——都能逐座標地搬過來。

絕對收斂：乖巧的那一種

還有一個更強、更友善的概念。當模所成的實數級數 sum |a_n| 收斂時，我們說級數 sum a_n 絕對收斂。重點是：絕對收斂會逼出普通收斂——若 sum |a_n| 收斂，則 sum a_n 也收斂。理由很短，值得隨身帶著：sum a_n 的部分和構成柯西數列，因為由三角不等式，任一段項的長度 |a_{m+1} + ... + a_n| 不會大於 |a_{m+1}| + ... + |a_n|，而那條尾巴我們早已知道是極小的。

為什麼要在意絕對收斂與條件收斂之分？因為絕對收斂的級數有一種普通級數沒有的穩健：你可以自由地重排它的項、重新分組，甚至把兩個這樣的級數相乘（柯西乘積），都不會破壞收斂或改變總和。收斂卻不絕對收斂的級數叫條件收斂，重排它可能改變它的值——所以它很脆弱，我們大多繞著走。對冪級數來說好消息是：在它們的收斂圓盤內部，它們是絕對收斂的；那份脆弱只住在邊界圓上。

兩個拿幾何級數來比的檢驗法

我們將用到的幾乎每一個收斂檢驗，都是拿級數去和那唯一一個我們徹底理解的級數比較：幾何級數 sum r^n。對複數比值 r 而言，這個級數恰好在 |r| < 1 時收斂（此時其和為 1/(1 - r)），在 |r| >= 1 時發散。因此比值檢驗與根值檢驗的策略，就是去問：在尾巴深處，項是否像某個 |r| < 1 的 r 的乘冪那樣縮小。

Ratio test:  L = lim |a_(n+1) / a_n|        (n -> infinity)
Root test:   L = lim sup |a_n|^(1/n)

   L < 1  ->  converges absolutely
   L > 1  ->  diverges
   L = 1  ->  test is silent (inconclusive)

兩個檢驗都拿項的大小去和幾何基準比；根值檢驗較強，正是它讓收斂半徑公式得以成立。

一個小而誠實的提醒：當 L = 1 時兩個檢驗都聳聳肩，你得另尋他法看得更深。此外，根值檢驗（用 |a_n|^(1/n) 的上極限）確實比比值檢驗更強——它對更多級數有效，且絕不會給出更弱的結論——這正是為何收斂半徑的柯西-阿達瑪公式是用根而非比值建造的。比值檢驗只是在項帶有乾淨的階乘或乘冪時較好算的那一個。

一個範例：指數級數

讓我們把這套機器用在本科目裡最重要的級數上，也就是定義複指數的那一個：e^z = sum z^n / n!。固定任一複數 z，把 n 當作跑動的指標，對項 a_n = z^n / n! 施以比值檢驗。

組出相鄰兩項之比：a_(n+1) / a_n = (z^(n+1) / (n+1)!) 除以 (z^n / n!)，化簡為 z / (n + 1)。
取模：|a_(n+1) / a_n| = |z| / (n + 1)。固定的數 |z| 在分子，而分母則無上限地增大。
讓 n 趨於無窮：極限 L = lim |z| / (n + 1) = 0，無論你一開始選的是哪個 z。
由於對每個 z 都有 L = 0 < 1，級數在平面上處處絕對收斂——所以 e^z 在整個複數平面上都有定義。

這一段小小的計算其實非常重大。因為指數級數處處收斂，e^z 是一個沒有任何崩潰點的函數——我們之後會把這種函數叫做整函數。同一個級數限制在 z = i theta 上，正是歐拉公式 e^(i theta) = cos theta + i sin theta 背後的引擎，而那條公式你從極式那一階梯就一直在用。所以我們剛剛驗證的那份漂亮收斂，正是你早已信任的一條公式底下的嚴謹根基。

為什麼這重要：通往冪級數的路

本篇的一切都是為一個大得多的想法暖身。冪級數是項裡帶有變數的級數：sum a_n (z - z_0)^n。對固定的 z 而言，它就只是上面那種複數級數，所以我們能問同樣的收斂問題——而答案竟然極其幾何。存在一個數 R，叫做收斂半徑，使得級數在 |z - z_0| < R 時（絕對）收斂、在 |z - z_0| > R 時發散。下一篇就要建造這個圓盤，並展示根值檢驗如何釘住 R。