零點可以溫柔，也可以強烈
回到冪級數那一階梯，你認識了解析函數的零點，並學到它們是孤立的——每一個都獨自坐著，沒有別的零點擠過來。但零點並非都一個樣。想像一個函數的圖形朝零壓下去：它可能乾淨地穿越，像 z 通過原點那樣；也可能貼平在零上，碰到又彎開，像 z^2 那樣。零點的階正是那一個整數，恰好捕捉函數壓得有多用力。單零點（一階）是一次乾淨的穿越；高階零點則是一次相切，函數越來越平地貼在零上。
有三種說法在說同一件事，而把三者同時握在手裡是值得的。第一，用因式分解：z_0 是 m 階零點，若你能寫成 f(z) = (z - z_0)^m g(z)，其中 g 解析且 g(z_0) 不等於 0——恰好有 m 個 (z - z_0) 因子藏在 f 裡。第二，用泰勒級數：z_0 處的展開從第 m 項開始，f(z) = a_m (z - z_0)^m + a_(m+1)(z - z_0)^(m+1) + ...，且 a_m 不等於 0。第三，用導數：f(z_0) = 0、f'(z_0) = 0、...、一路到 f^(m-1)(z_0) = 0，但 f^(m)(z_0) 不為 0。函數與它前 m - 1 個導數一同消失，而第 m 個是頭一個存活下來的。
實務的配方就從第二種描述裡掉出來：展開泰勒級數，讀出第一個存活係數的指標——那個指標就是 m。看 1 - cos z 在原點。我們知道 cos z = 1 - z^2/2 + z^4/24 - ...，故 1 - cos z = z^2/2 - z^4/24 + ...，級數頭一次甦醒是在 z^2。階是 2。不必硬磨任何導數；級數已經把答案告訴我們了。
極點可以是矮尖峰，也可以是高聳的尖塔
現在把整個故事上下顛倒來照一遍。上一篇你替孤立奇點分了類，並認識了極點——那是函數以一種受控的方式爆向無窮的情形，羅朗級數的主要部分只有有限多個負次項。但並非所有極點都以相同速度爆掉。1/(z - z_0) 駛向無窮；1/(z - z_0)^2 衝得快得多；1/(z - z_0)^5 又更快。極點的階正是衡量尖峰爬得多猛——多陡——的那個整數。
最乾淨的定義直接從羅朗級數讀出：階就是最深那個負次項的深度。若 f(z) = a_(-m)/(z - z_0)^m + ... + a_(-1)/(z - z_0) +（解析部分），且 a_(-m) 不等於 0，則該極點的階為 m。1 階的極點稱為單極點；2、3 階等等則是二階、三階，依此類推。注意它與零點的對比：在零點，階數的是你能提出多少個 (z - z_0) 因子；在極點，階數的是你得乘回多少個 (z - z_0) 因子才能清掉分母。
零點與極點是同一枚硬幣的兩面
接下來這個想法讓階真正有了威力，也是本篇的核心。取倒數會把零點變成極點、把極點變成零點——而且是逐階對應地做這件事。這正是關於 1/f 的零點與極點那條結果的內容：若 f 在 z_0 有 m 階零點，則 1/f 在那裡有 m 階極點，反之亦然。同一個整數只是換了邊站。一次乾淨的零點穿越（一階）變成單極點；一個平坦的二階零點變成二階極點。
為什麼成立？用因式分解的圖像。若 f(z) = (z - z_0)^m g(z)，其中 g 解析且 g(z_0) 不等於 0，則 1/f(z) = 1/(z - z_0)^m 乘以 1/g(z)。由於 g(z_0) 非零，1/g 在 z_0 處解析且非零，因此它本身不貢獻任何奇點——它只是當個乖巧的因子一路跟著。所有戲劇性都住在前頭那個 1/(z - z_0)^m 裡，而那恰恰是一個 m 階極點。為零點定階的那個因式分解，免費把極點的階也交給了你。
這份對偶也是你在函數以商的形式出現時讀出極點的辦法。設 f = g/h，其中 g 與 h 解析且 g(z_0) 不等於 0。那麼 f 在 z_0 處極點的階，等於 h 在 z_0 處零點的階——分子只是搭便車的。所以要找極點，你忘掉分子，只問分母消失得有多用力。
階會做算術
階真正的樂趣在於它們遵守簡單的記帳法，這讓你能用目視就讀出一個複雜算式的行為。把函數相乘時，它們在共同點的階會相加：若 f 在 z_0 有 j 階零點、g 在那裡有 k 階零點，則 fg 在那裡有 j + k 階零點。把一個函數平方，會讓每個零點的階加倍。而分子裡的零點會抵消分母裡的極點階：分子的一個 k 階零點抹去分母 k 個單位的極點階，可能留下一個較低階的極點、一個可去點，甚至一個零點，端看哪一邊贏。
一個範例把這釘死。取 f(z) = 1/(z^2 sin z) 在 z_0 = 0。因子 z^2 在分母貢獻一個 2 階零點。而 sin z = z - z^3/6 + ... 在 0 有單零點——一階。所以分母 z^2 sin z 消失的總階是 2 + 1 = 3，依極點的商法則，f 有一個 3 階極點。用捷徑驗證：z^3 f(z) = z^3/(z^2 sin z) = z/sin z，當 z 趨於 0 時趨於 1——一個有限非零極限，確認階恰為 3，不多也不少。
f(z) = g(z) / h(z), g(z_0) != 0
zero of h at z_0 has order m -> f has a POLE of order m
zero of g at z_0 has order k -> contributes a ZERO of order k
net order at z_0 = (order of zero of g) - (order of zero of h)
positive -> a zero of that order
negative -> a pole of that order
zero -> removable, with a finite nonzero value為什麼值得知道階
階不是一項要硬背的奇談——它是本科目接下來不斷伸手去拿的那個數。最立即的回報是計算留數，也就是那個解開留數定理的單一羅朗係數。你用的公式完全取決於階：單極點用一行極限就給出留數，而 m 階極點則需要 m - 1 次求導。先知道階，你就知道該拿哪件工具。
階也是使計數誠實的東西。n 次多項式恰有 n 個零點，唯有當每個都按其階計入時；而輻角原理在一條圍道內按零點與極點的階來計數。幾何上，在 m 階零點附近，函數表現得像 (z - z_0)^m，故它把角度纏繞 m 倍、並局部為 m 對一——階字面上就是這映射把鄰域折疊到自身的次數。階的記帳法在零點與極點之間自由流動，正是讓下一篇的亞純函數如此好處理的原因：這樣一個函數，在細節之外，完全由它零點與極點的位置和階所描述。