你一直錯過的捷徑
在前兩篇裡，你學會了老實地計算圍道積分——把路徑 z(t) 參數化、代入、再磨出一個關於 t 的實積分——也學會了在只需要知道大小時用 ML 不等式來界定答案。兩者都是極好的工具，但都把積分當成沿著某一條特定道路完成的苦差事。本篇要談的，正是那條道路不再重要的時刻。對於一大類重要的函數，積分的值只取決於你從哪裡出發、在哪裡結束——而與中間的旅程無關。這個現象有個名字，叫路徑無關性，而它有一個成因：那個函數是某個東西的導數。
把思緒拉回大一的微積分。微積分基本定理說：若 F'(x) = f(x)，則 f 從 a 到 b 的積分就是 F(b) - F(a)。你不必參數化任何東西；你找一個反導數，再相減它在兩端的值即可。本篇的奇蹟在於：同一條定理對複平面上的圍道積分幾乎一字不差地成立。扮演反導數角色的東西稱為原函數（有些書叫「反導數」或「不定積分」——都是同一回事），而一旦你手上有一個，積分就會自己算出自己。
圍道積分的基本定理
以下是精確的敘述。設 F 在某區域 D 上全純且在那裡滿足 F'(z) = f(z)——我們把這樣的 F 稱為 f 的一個原函數。那麼對於 D 內任一條從起點 z_0 走到終點 z_1 的分段光滑路徑 gamma，f 沿 gamma 的積分就等於 F(z_1) - F(z_0)。這就是整條圍道積分基本定理。請注意右邊消失了什麼：路徑的一切蹤跡。從 z_0 到 z_1 的兩條不同道路給出完全相同的答案，因為答案根本沒提到道路。
為什麼它成立？證明只是一行鏈鎖律的應用，而且值得一看，因為它把一切都點破了。把 gamma 用 z(t)（t 從 0 到 1）參數化。那麼 f(z(t)) z'(t) = F'(z(t)) z'(t)，依鏈鎖律，這恰好是合成函數 F(z(t)) 對 t 的導數。於是對 t 積分便還原出 F(z(t)) 在端點的值——F(z(1)) - F(z(0)) = F(z_1) - F(z_0)。參數化完全自我抵消，這正是路徑無關性背後確切的機制。
F'(z) = f(z) on a domain D
integral over gamma of f(z) dz = F(z_1) - F(z_0)
(endpoints only)
Proof in one line, with z = z(t):
f(z(t)) z'(t) = F'(z(t)) z'(t) = d/dt [ F(z(t)) ]
integrate t in [0,1] => F(z_1) - F(z_0)閉迴路坍縮為零
現在餵給這條定理一個閉迴路。若 gamma 回到它出發的地方，則 z_1 = z_0，於是 F(z_1) - F(z_0) = 0。所以只要 f 在區域上有原函數，f 沿任何閉圍道的積分就消失為零。這是一個披著樸素外衣、卻強得驚人的論斷：無論迴路怎麼蜿蜒、有多大、自我折返幾次，只要原函數存在的那一刻起，積分就恰好是零。你在這裡已瞥見了整個鞍級最深刻的結果——柯西積分定理——我們會在下一篇正式證明它。原函數版本是容易的一半，它精確地告訴你：一個函數需要具備哪一項性質，它的迴路積分才會死去。
讓我們用最友善的例子把它具體化。取 f(z) = z^n，其中 n 是零或更大的整數。一個明顯的原函數是 F(z) = z^(n+1)/(n+1)，它在整個平面上全純——回想一下冪法則在複數情形下與實數 x 時運作得一模一樣。所以對每個 n = 0, 1, 2, 3 等等，z^n 沿單位圓的積分都是零。你大可用第一篇的蠻力法驗證——令 z = e^(i theta)，從 0 積到 2 pi——但你已不必如此。任何多項式、e^z、cos z、sin z：每一個都是某個整函數的導數，所以每一個沿平面上每條閉迴路的積分都是零。
著名的陷阱：1/z 沒有整體原函數
上面這一切也許會讓你誤以為每個全純函數都有原函數、每個迴路積分都是零。這是錯的，而那個反例正是本門學問中最重要的單一積分。取挖了洞的平面上的 f(z) = 1/z——除原點外處處有定義。它在那裡全純。依冪法則，你會預期 z^(-1) 的原函數是 log z。確實，F(z) = log z 滿足 F'(z) = 1/z。麻煩在於 log z 是多值的：log z = ln|z| + i(arg z + 2 pi k)，而當迴路繞行原點一圈時，根本沒辦法連續地為 arg z 挑出單一的值。繞原點一圈，arg z 已暗中增加了 2 pi。
於是直接把 1/z 沿單位圓積分。令 z = e^(i theta)，dz = i e^(i theta) d theta，1/z = e^(-i theta)，被積函數化為 i d theta，把 theta 從 0 積到 2 pi 恰好得到 2 pi i——而非零。迴路積分拒絕消失，而上面那條定理精確地告訴我們原因：在整個挖洞平面上，1/z 沒有單值的原函數。我們最多只能在一個切開的平面上定義對數的一個分支（沿一條射線切開，使任何迴路都無法繞行 0），而在那個較小的區域上，1/z 確實有原函數，沿留在切開區域內的迴路積分也確實為零。
那個 2 pi i 既非偶然也非麻煩——它是複分析的心跳。它以偽裝的形式計數了迴路繞行洞口的次數：把 1/z 沿一條繞原點 k 圈的迴路積分，你會得到 2 pi i 乘以 k。那個整數就是繞數，本鞍級第五篇的主題，也正是為何複連通區域與單連通區域行為如此迥異的原因。這一個積分不為零，遠非理論的失敗，反而是一道門——留數、柯西積分公式，以及本門學問大半的威力，終將從這道門走進來。
如何在實務中運用原函數
操作方法很短，邏輯與實變數的代入法相同，只是改在平面上演出。唯一真正屬於複分析的步驟是那個誠實的檢查：確認你的原函數在一個確實包含你整條路徑的區域上是單值且全純的，途中沒有偷偷穿越任何分支切線。
- 辨認出原函數。問問被積函數是不是某個熟悉東西的 d/dz——z^n 積成 z^(n+1)/(n+1)（n 不等於 -1），e^z 積成 e^z，cos z 積成 sin z，1/z 積成 log z 的某個分支。
- 檢查區域。確認 F 在包含整條路徑 gamma 的某區域上全純且單值；凡涉及 log z 或 z 的非整數次冪者，固定一個分支，並確保路徑絕不穿越它的分支切線。
- 讀出端點。答案就是 F(z_1) - F(z_0)。若路徑封閉，z_1 = z_0，答案為零——不需任何參數化。
- 若你的區域上不存在原函數（1/z 的情形），停下——路徑無關性失效，你現在必須退回直接參數化，往後則退回留數。